![]() |
Problema 65
Convergenți ai lui e
Rădăcina pătrată a lui 2 poate fi scrisă ca o fracție continuă care merge la infinit.
√2 = 1 + | 1 ![]() |
|||
2 + | 1 ![]() |
|||
2 + | 1 ![]() |
|||
2 + | 1 ![]() |
|||
2 + ... |
Fracția continuă infinită poate fi scrisă, √2 = [1;(2)], (2) indică că 2 se repetă la infinit. În mod similar, √23 = [4;(1,3,1,8)].
Se pare că șirul de valori parțiale a fracțiilor continue pentru rădăcinile pătrate oferă cele mai bune aproximări raționale ale acestora. Să considerăm convergenții pentru √2.
1 + | 1 ![]() |
= 3/2 |
2 |
1 + | 1 ![]() |
= 7/5 | |
2 + | 1 ![]() |
||
2 |
1 + | 1 ![]() |
= 17/12 | ||
2 + | 1 ![]() |
|||
2 + | 1 ![]() |
|||
2 |
1 + | 1 ![]() |
= 41/29 | |||
2 + | 1 ![]() |
||||
2 + | 1 ![]() |
||||
2 + | 1 ![]() |
||||
2 |
Prin urmare, primii 10 termeni din șirul convergenților pentru √2 sunt:
Cel mai surprinzător e că constanta matematică,
e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 , ... , 1,2k,1, ...].
Primii 10 termeni ai șirului de convergenți pentru e sunt:
Suma cifrelor numărătorului celui de-al 10lea convergent e 1+4+5+7=17.
Găsește suma cifrelor numărătorului celui de-al 100lea convergent al fracției continue pentru e.