![]() |
Problema 57
21 Noiembrie 2003
Convergența rădăcinilor pătrate
Se poate demonstra că radicalul lui 2 se poate exprima ca o fracție continuă infinită.
√ 2 = 1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + ... ))) = 1.414213...
Dezvoltând pentru primele 4 iterații, obținem:
1 + 1/2 = 3/2 = 1.5
1 + 1/(2 + 1/2) = 7/5 = 1.4
1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2)) = 17/12 = 1.41666...
1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2))) = 41/29 = 1.41379...
Următoarele 3 dezvoltări sunt 99/70, 239/169 și 577/408, dar a opta dezvoltare, 1393/985, e primul exemplu unde numărul de cifre din numărător depășește numărul de cifre din numitor.
În primele o mie de dezvoltări, câte fracții au un numărător cu mai multe cifre decât numitorul ?