RSS Feed

Problema 1

05 Octombrie 2001

Dacă listăm toate numerele naturale mai mici de 10 care sunt multipli de 3 sau 5, obținem 3, 5, 6 și 9. Suma acestor multipli e 23.

Găsește suma tuturor multiplilor de 3 sau 5 mai mici de 1000.

Problema 2

19 Octombrie 2001

Fiecare nou termen din șirul lui Fibonacci este obținut prin adunarea celor 2 termeni precedenți. Începând cu 1 și 2, primii 10 termeni sunt:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Luând în considerare doar termenii din șirul lui Fibonacci care nu depășesc patru milioane, găsește suma termenilor pari.

Problema 3

02 Noiembrie 2001

Factorii primi ai numărului 13195 sunt 5, 7, 13 și 29.

Care e cel mai mare factor prim al numărului 600851475143 ?

Problema 4

16 Noiembrie 2001

Un număr palindromic se citește la fel de la stânga la dreapta și de la dreapta la stânga. Cel mai mare palindrom obținut din produsul a două numere de 2 cifre e 9009 = 91 × 99.

Găsește cel mai mare palindrom obținut din produsul a două numere de 3 cifre fiecare.

Problema 5

30 Noiembrie 2001

2520 e cel mai mic număr care e divizibil fără rest cu toate numerele de la 1 la 10.

Care e cel mai mic număr pozitiv care e divizibil fără rest cu toate numerele de la 1 la 20 ?

Problema 6

14 Decembrie 2001

Suma pătratelor primelor 10 numere naturale este:

12 + 22 + ... + 102 = 385

Pătratul sumei primelor 10 numere naturale este:

(1 + 2 + ... + 10)2 = 552 = 3025

Deci diferența între suma pătratelor primelor 10 numere naturale și pătratul sumei lor este 3025 − 385 = 2640.

Găsește diferența între suma pătratelor primelor 100 de numere naturale și pătratul sumei lor.

Problema 7

28 Decembrie 2001

Listând primele 6 numere prime: 2, 3, 5, 7, 11 și 13, se poate observa că al 6-lea număr prim e 13.

Care e al 10001-lea număr prim ?

Problema 8

11 Ianuarie 2002

Găsește cel mai mare produs a 5 cifre consecutive din următorul număr de 1000 de cifre.

73167176531330624919225119674426574742355349194934
96983520312774506326239578318016984801869478851843
85861560789112949495459501737958331952853208805511
12540698747158523863050715693290963295227443043557
66896648950445244523161731856403098711121722383113
62229893423380308135336276614282806444486645238749
30358907296290491560440772390713810515859307960866
70172427121883998797908792274921901699720888093776
65727333001053367881220235421809751254540594752243
52584907711670556013604839586446706324415722155397
53697817977846174064955149290862569321978468622482
83972241375657056057490261407972968652414535100474
82166370484403199890008895243450658541227588666881
16427171479924442928230863465674813919123162824586
17866458359124566529476545682848912883142607690042
24219022671055626321111109370544217506941658960408
07198403850962455444362981230987879927244284909188
84580156166097919133875499200524063689912560717606
05886116467109405077541002256983155200055935729725
71636269561882670428252483600823257530420752963450

Problema 9

25 Ianuarie 2002

Un triplet pitagorean e o mulțime de 3 numere naturale, a < b < c, pentru care,

a2 + b2 = c2

De exemplu, 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Există un singur triplet pitagorean pentru care a + b + c = 1000.
Află produsul abc.

Problema 10

08 Februarie 2002

Suma numerelor prime mai mici de 10 e 2 + 3 + 5 + 7 = 17.

Află suma numerelor prime mai mici de 2 milioane.

Problema 11

22 Februarie 2002

În matricea de 20×20 de mai jos, patru numere de-a lungul unei diagonale au fost marcate cu culoarea roșie.

08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08
49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00
81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65
52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91
22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80
24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50
32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70
67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21
24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72
21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95
78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92
16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57
86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58
19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40
04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66
88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69
04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36
20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16
20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54
01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48

Produsul acestor numere este 26 × 63 × 78 × 14 = 1788696.

Care este cel mai mare produs a 4 numere adiacente în aceeași direcție (sus, jos, stanga, dreapta, pe diagonala) în matricea de 20×20 ?

Problema 12

08 Martie 2002

Șirul numerelor triunghiulare e obținut prin adunarea numerelor naturale. Deci al 7-lea număr triunghiular e 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Primii 10 termeni din șir sunt:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Să listăm toți divizorii primelor 7 numere triunghiulare:

 1: 1
 3: 1,3
 6: 1,2,3,6
10: 1,2,5,10
15: 1,3,5,15
21: 1,3,7,21
28: 1,2,4,7,14,28

Se poate observa că 28 e primul număr triunghiular care are mai mult de 5 divizori.

Care e primul număr triunghiular cu mai mult de 500 de divizori ?

Problema 13

22 Martie 2002

Află primele 10 cifre obținute din adunarea următoarelor 100 de numere a câte 50 de cifre fiecare.

37107287533902102798797998220837590246510135740250
46376937677490009712648124896970078050417018260538
74324986199524741059474233309513058123726617309629
91942213363574161572522430563301811072406154908250
23067588207539346171171980310421047513778063246676
89261670696623633820136378418383684178734361726757
28112879812849979408065481931592621691275889832738
44274228917432520321923589422876796487670272189318
47451445736001306439091167216856844588711603153276
70386486105843025439939619828917593665686757934951
62176457141856560629502157223196586755079324193331
64906352462741904929101432445813822663347944758178
92575867718337217661963751590579239728245598838407
58203565325359399008402633568948830189458628227828
80181199384826282014278194139940567587151170094390
35398664372827112653829987240784473053190104293586
86515506006295864861532075273371959191420517255829
71693888707715466499115593487603532921714970056938
54370070576826684624621495650076471787294438377604
53282654108756828443191190634694037855217779295145
36123272525000296071075082563815656710885258350721
45876576172410976447339110607218265236877223636045
17423706905851860660448207621209813287860733969412
81142660418086830619328460811191061556940512689692
51934325451728388641918047049293215058642563049483
62467221648435076201727918039944693004732956340691
15732444386908125794514089057706229429197107928209
55037687525678773091862540744969844508330393682126
18336384825330154686196124348767681297534375946515
80386287592878490201521685554828717201219257766954
78182833757993103614740356856449095527097864797581
16726320100436897842553539920931837441497806860984
48403098129077791799088218795327364475675590848030
87086987551392711854517078544161852424320693150332
59959406895756536782107074926966537676326235447210
69793950679652694742597709739166693763042633987085
41052684708299085211399427365734116182760315001271
65378607361501080857009149939512557028198746004375
35829035317434717326932123578154982629742552737307
94953759765105305946966067683156574377167401875275
88902802571733229619176668713819931811048770190271
25267680276078003013678680992525463401061632866526
36270218540497705585629946580636237993140746255962
24074486908231174977792365466257246923322810917141
91430288197103288597806669760892938638285025333403
34413065578016127815921815005561868836468420090470
23053081172816430487623791969842487255036638784583
11487696932154902810424020138335124462181441773470
63783299490636259666498587618221225225512486764533
67720186971698544312419572409913959008952310058822
95548255300263520781532296796249481641953868218774
76085327132285723110424803456124867697064507995236
37774242535411291684276865538926205024910326572967
23701913275725675285653248258265463092207058596522
29798860272258331913126375147341994889534765745501
18495701454879288984856827726077713721403798879715
38298203783031473527721580348144513491373226651381
34829543829199918180278916522431027392251122869539
40957953066405232632538044100059654939159879593635
29746152185502371307642255121183693803580388584903
41698116222072977186158236678424689157993532961922
62467957194401269043877107275048102390895523597457
23189706772547915061505504953922979530901129967519
86188088225875314529584099251203829009407770775672
11306739708304724483816533873502340845647058077308
82959174767140363198008187129011875491310547126581
97623331044818386269515456334926366572897563400500
42846280183517070527831839425882145521227251250327
55121603546981200581762165212827652751691296897789
32238195734329339946437501907836945765883352399886
75506164965184775180738168837861091527357929701337
62177842752192623401942399639168044983993173312731
32924185707147349566916674687634660915035914677504
99518671430235219628894890102423325116913619626622
73267460800591547471830798392868535206946944540724
76841822524674417161514036427982273348055556214818
97142617910342598647204516893989422179826088076852
87783646182799346313767754307809363333018982642090
10848802521674670883215120185883543223812876952786
71329612474782464538636993009049310363619763878039
62184073572399794223406235393808339651327408011116
66627891981488087797941876876144230030984490851411
60661826293682836764744779239180335110989069790714
85786944089552990653640447425576083659976645795096
66024396409905389607120198219976047599490197230297
64913982680032973156037120041377903785566085089252
16730939319872750275468906903707539413042652315011
94809377245048795150954100921645863754710598436791
78639167021187492431995700641917969777599028300699
15368713711936614952811305876380278410754449733078
40789923115535562561142322423255033685442488917353
44889911501440648020369068063960672322193204149535
41503128880339536053299340368006977710650566631954
81234880673210146739058568557934581403627822703280
82616570773948327592232845941706525094512325230608
22918802058777319719839450180888072429661980811197
77158542502016545090413245809786882778948721859617
72107838435069186155435662884062257473692284509516
20849603980134001723930671666823555245252804609722
53503534226472524250874054075591789781264330331690

Problema 14

05 Aprilie 2002

Următorul șir e definit în mulțimea numerelor naturale:

nn/2 (n e par)
n → 3n + 1 (n e impar)

Folosind regula de mai sus și începând cu numărul 13, se obține următorul șir:

13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

Se poate observa că acest șir (începând de la 13 și terminând la 1) conține 10 termeni. Chiar dacă nu a fost demonstrat încă (problema lui Collatz), se crede că, pentru toate numerele de început, șirul se termină la 1.

Care număr de început, mai mic de 1 milion, produce cel mai lung șir ?

NOTĂ: Termenii din șir au voie să fie mai mari de 1 milion.

Problema 15

19 Aprilie 2002

Începând din colțul din stânga-sus a unei matrici de dimensiune 2×2 și mergând doar spre dreapta și în jos, sunt 6 rute (fără backtracking) până la colțul din dreapta-jos.

Câte astfel de rute sunt într-o matrice de 20×20 ?

Problema 16

03 Mai 2002

215 = 32768 și suma cifrelor lui este: 3 + 2 + 7 + 6 + 8 = 26.

Care e suma cifrelor numărului 21000?

Problema 17

17 Mai 2002

Dacă numerele de la 1 la 5 sunt scrise în cuvinte (în engleză): one, two, three, four, five, atunci sunt 3 + 3 + 5 + 4 + 4 = 19 litere folosite pentru asta.

Dacă toate numerele de la 1 la 1000 inclusiv ar fi scrise folosind cuvinte (în engleză), câte litere s-ar folosi ?


NOTĂ: Nu număra spațiile și cratimele. De exemplu, 342 (three hundred and forty-two) conține 23 de litere iar 115 (one hundred and fifteen) conține 20 de litere. Folosirea cuvântului "and" la scriere este conformă cu standardul britanic.

Problema 18

31 Mai 2002

Începând din vârful triunghiului de mai jos și mergând la numerele adiacente de pe rândul inferior, suma maxima din vârf până la bază este 23.

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

Mai exact, 3 + 7 + 4 + 9 = 23.

Găsește suma maximă de la vârf la bază în triunghiul de mai jos:

75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23

NOTĂ: Având în vedere că sunt doar 16384 de rute diferite, e posibil să rezolvi această problemă încercând fiecare rută. Dar Problema 67 conține aceeași provocare într-un triunghi cu 100 de rânduri; nu poate fi rezolvată prin forță brută și necesită o metodă inteligentă de rezolvare ! ;o)

Problema 19

14 Iunie 2002

Se dau următoarele informații, dar poate ai prefera să cercetezi mai departe singur:

  • 1 Ianuarie 1900 a fost o zi de Luni.
  • Septembrie, Aprilie, Iunie si Noiembrie au 30 de zile
    Toate celelalte au 31,
    Cu excepția lui Februarie,
    Care are 28.
    Și în ani bisecți are 29.
  • Un an bisect apare în orice an divizibil cu 4, dar nu într-unul divizibil cu 100, decât daca e divizibil cu 400.

Câte zile de Duminică au picat pe data de întâi a lunii de-a lungul secolului 20 (din 1 Ianuarie 1901 până în 31 Decembrie 2000)?

Problema 20

21 Iunie 2002

n! înseamnă n × (n − 1) × ... × 3 × 2 × 1

De exemplu, 10! = 10 × 9 × ... × 3 × 2 × 1 = 3628800,
și suma cifrelor numărului 10! e 3 + 6 + 2 + 8 + 8 + 0 + 0 = 27.

Găsește suma cifrelor numărului 100!

Problema 21

05 Iulie 2002

Fie d(n) suma divizorilor fără rest ai lui n (numere mai mici decât n care divid pe n fără rest).
Daca d(a) = b și d(b) = a, unde ab, atunci a si b sunt o pereche amicabilă iar a și b sunt numite numere amicabile.

De exemplu, divizorii fără rest ai lui 220 sunt 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 și 110; prin urmare d(220) = 284. Divizorii fără rest ai lui 284 sunt 1, 2, 4, 71 și 142; deci d(284) = 220.

Găsește suma tuturor perechilor amicabile formate din numere mai mici de 10000.

Problema 22

19 Iulie 2002

Folosind names.txt (click dreapta și 'Save Link/Target As...'), un fișier text de 46K care conține peste 5 mii de prenume, începe prin a le sorta în ordine alfabetică. Apoi calculează valoarea alfabetică pentru fiecare nume și înmulțește această valoare cu poziția alfabetică din listă pentru a obține scorul numelui.

De exemplu, când lista e sortată în ordine alfabetică, COLIN, care are valoarea 3 + 15 + 12 + 9 + 14 = 53, e al 938-lea nume din listă. Deci COLIN ar obține un scor de 938 × 53 = 49714.

Care e suma tuturor scorurilor din fișier ?

Problema 23

02 August 2002

Un număr perfect e un număr egal cu suma tuturor divizorilor săi întregi. De exemplu, suma tuturor divizorilor lui 28 e 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, ceea ce inseamna că 28 e un număr perfect.

Un număr n este numit deficient dacă suma tuturor divizorilor săi întregi e mai mică decât n și e numit abundent dacă suma depașește n.

Având în vedere că 12 este cel mai mic număr abundent, 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, atunci cel mai mic număr care poate fi scris ca sumă a 2 numere abundente e 24. Prin analiză matematică, se poate demonstra că toate numerele întregi mai mari decât 28123 pot fi scrise ca sumă a 2 numere abundente. În ciuda acestui fapt, această limită superioară nu poate fi redusă în continuare prin analiză chiar dacă se știe că cel mai mare număr care nu poate fi scris ca sumă a 2 numere abundente e mai mic decât această limită.

Găsește suma tuturor numerelor întregi pozitive care nu pot fi scrise ca sumă a 2 numere abundente.

Problema 24

16 August 2002

O permutare e o aranjare ordonată a unor obiecte. De exemplu, 3124 e una din posibilele permutări ale cifrelor 1, 2, 3 și 4. Dacă toate permutările ar fi afișate în ordine numerică sau alfabetică, atunci permutarea se numește permutare lexicografică. Permutările lexicografice ale cifrelor 0, 1 și 2 sunt:

012   021   102   120   201   210

Care este a 1.000.000-a permutare lexicografică a cifrelor 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9?

Problema 25

30 August 2002

Șirul lui Fibonacci e definit de următoarea relație de recurență:

Fn = Fn−1 + Fn−2, unde F1 = 1 și F2 = 1.

Prin urmare primii 12 termeni vor fi:

F1 = 1
F2 = 1
F3 = 2
F4 = 3
F5 = 5
F6 = 8
F7 = 13
F8 = 21
F9 = 34
F10 = 55
F11 = 89
F12 = 144

Al 12-lea termen, F12, e primul care conține 3 cifre.

Al câtelea termen din șirul lui Fibonacci conține pentru prima oară 1000 de cifre ?

Problema 26

13 Septembrie 2002

O fracție unitară conține 1 în numărător. Este dată reprezentarea decimală a fracțiilor unitare cu numitorul de la 2 la 10:

1/20.5
1/30.(3)
1/40.25
1/50.2
1/60.1(6)
1/70.(142857)
1/80.125
1/90.(1)
1/100.1

Unde 0.1(6) înseamnă 0.166666..., și are o perioadă de 1 cifră. Se poate observa că 1/7 are o perioadă de 6 cifre.

Găsește valoarea lui d < 1000 pentru care 1/d conține cea mai lunga perioadă în reprezentarea sa decimală.

Problema 27

27 Septembrie 2002

Euler a descoperit uimitoarea formulă pătratică:

n² + n + 41

Se pare că formula aceasta va produce 40 de numere prime pentru valorile consecutive n = de la 0 până la 39. Dar, când n = 40, 402 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 e divizibil cu 41, și evident când n = 41, 41² + 41 + 41 e divizibil cu 41.

Uimitoarea formulă  n² − 79n + 1601 a fost descoperită, care produce 80 de numere prime pentru valorile consecutive n = de la 0 până la 79. Produsul coeficienților, −79 și 1601, e −126479.

Considerând formule pătratice de forma:

n² + an + b, unde |a| < 1000 si |b| < 1000

unde |n| e modulul (valoarea absolută) a lui n
e.g. |11| = 11 și |−4| = 4

Găsește produsul coeficienților, a și b, pentru formula pătratica care produce numărul maxim de numere prime pentru valori consecutive ale lui n, începând cu n = 0.

Problema 28

11 Octombrie 2002

Începând cu numărul 1 și mergând spre dreapta în sensul acelor de ceas, o spirală de dimensiune 5 pe 5 e formată astfel:

21 22 23 24 25
20  7  8  9 10
19  6  1  2 11
18  5  4  3 12
17 16 15 14 13

Se poate verifica că suma numerelor pe diagonale este 101.

Care este suma numerelor pe diagonale într-o spirală de 1001 pe 1001 formată în același fel ?

Problema 29

25 Octombrie 2002

Consideră toate combinațiile întregi lui ab pentru 2 ≤ a ≤ 5 si 2 ≤ b ≤ 5:

22=4, 23=8, 24=16, 25=32
32=9, 33=27, 34=81, 35=243
42=16, 43=64, 44=256, 45=1024
52=25, 53=125, 54=625, 55=3125

Dacă ar fi aranjate în ordine crescătoare, fără ca un număr să se repete, s-ar obține următorul șir cu 15 termeni distincți:

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125, 243, 256, 625, 1024, 3125

Câți termeni distincți sunt în șirul generat de ab pentru 2 ≤ a ≤ 100 și 2 ≤ b ≤ 100 ?

Problema 30

08 Noiembrie 2002

În mod surprinzător, există doar 3 numere care pot fi scrise ca sumă a cifrelor lor ridicate la puterea a 4-a:

1634 = 14 + 64 + 34 + 44
8208 = 84 + 24 + 04 + 84
9474 = 94 + 44 + 74 + 44

Cum 1 = 14 nu e o sumă, acesta nu e inclus.

Suma acestor numere e 1634 + 8208 + 9474 = 19316.

Găsește suma tuturor numerelor care pot fi scrise ca sumă a cifrelor lor ridicate la puterea a 5-a.

Problema 31

22 Noiembrie 2002

În Anglia, moneda națională este compusă din liră, £ și pence, p, și sunt reprezentate de exact 8 monede în circulație:

1p, 2p, 5p, 10p, 20p, 50p, £1 (100p) și £2 (200p).

Este posibil să faci £2 în următorul mod:

1×£1 + 1×50p + 2×20p + 1×5p + 1×2p + 3×1p

În câte feluri diferite poți face £2 folosind oricâte monede ?

Problema 32

06 Decembrie 2002

O să numim un număr cu n cifre pandigital dacă este compus din cifrele de la 1 la n fără ca o cifră să se repete; de exemplu, numărul de 5 cifre 15234 este pandigital de la 1 la 5.

Produsul 7254 e neobișnuit, pentru că 39 × 186 = 7254, conținând multiplicand, multiplicator și produs, este pandigital de la 1 la 9.

Găsește suma tuturor produselor a căror combinație multiplicand/multiplicator/produs poate fi scrisă ca un număr pandigital de la 1 la 9.

SFAT: Unele produse se pot obține în mai multe feluri, așa că asigură-te ca îl vei include o singură dată.

Problema 33

20 Decembrie 2002

Fracția 49/98 e o fracție interesantă, deoarece un matematician fără experiență ar putea sa creadă, atunci când o simplifică, că 49/98 = 4/8, ceea ce e fals. Acest rezultat e obținut prin ștergerea cifrelor 9.

O să considerăm fracțiile de forma 30/50 = 3/5 a fi exemple banale.

Există exact 4 exemple nebanale de astfel de fracții, cu valoarea mai mică decât 1 și având 2 cifre în numărător și numitor.

Dacă produsul acestor 4 fracții este dat în formă simplificată, află valoarea numitorului.

Problema 34

03 Ianuarie 2003

145 e un număr interesant deoarece 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145.

Află suma tuturor numerelor care sunt egale cu suma factorialelor cifrelor lor.

Notă: cum 1! = 1 și 2! = 2 nu sunt sume, ele nu se vor lua în considerare.

Problema 35

17 Ianuarie 2003

Numărul 197 e un număr prim circular pentru că toate rotațiile cifrelor sale: 197, 971 și 719 sunt numere prime.

Sunt 13 astfel de numere prime mai mici de 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79 și 97.

Câte numere prime circulare mai mici de 1 milion există ?

Problema 36

31 Ianuarie 2003

Numărul decimal, 585 = 10010010012 (binar), e palindromic în ambele baze.

Găsește suma tuturor numerelor mai mici de 1 milion care sunt palindromice în baza 10 și în baza 2.

(Ține minte că numărul palindromic, în oricare din baze, nu poate începe cu cifra 0.)

Problema 37

14 Februarie 2003

Numărul 3797 are o proprietate interesantă. Fiind număr prim, e posibil să se tot îndepărteze câte o cifră de la stânga la dreapta, iar numărul va rămâne prim la fiecare pas: 3797, 797, 97, și 7. În mod similar se poate face același lucru de la dreapta la stânga: 3797, 379, 37 și 3.

Găsește suma singurelor 11 numere prime care sunt truncabile de la stânga la dreapta și de la dreapta la stânga.

NOTĂ: 2, 3, 5 și 7 nu sunt considerate numere prime truncabile.

Problema 38

28 Februarie 2003

Ia numărul 192 și înmulțește-l cu 1, 2 și 3:

192 × 1 = 192
192 × 2 = 384
192 × 3 = 576

Alăturând toate rezultatele, vom obține pandigitalul de la 1 la 9, 192384576. O să numim 192384576 produsul alăturat a lui 192 și (1,2,3)

Același lucru se poate obține înmulțind 9 cu 1, 2, 3, 4 și 5, rezultând pandigitalul 918273645, care e produsul alăturat a lui 9 și (1,2,3,4,5).

Care e cel mai mare pandigital de la 1 la 9 care se poate obține din produsul alăturat al unui număr întreg cu (1,2, ... , n) unde n > 1?

Problema 39

14 Martie 2003

Dacă p e perimetrul unui triunghi dreptunghic având lungimile laturilor numere întregi, {a,b,c}, atunci sunt exact 3 soluții pentru p = 120.

{20,48,52}, {24,45,51}, {30,40,50}

Pentru ce valoare a lui p ≤ 1000, se obține numărul maxim de soluții ?

Problema 40

28 Martie 2003

O fracție zecimală irațională este creată prin alăturarea numerelor întregi pozitive:

0.123456789101112131415161718192021...

Se poate vedea că a 12-a cifră a părții fracționare e 1.

Dacă dn reprezintă a n-a cifră a părții fracționare, găsește valoarea următoarei expresii.

d1 × d10 × d100 × d1000 × d10000 × d100000 × d1000000

Problema 41

11 Aprilie 2003

O să numim un număr pandigital de la 1 la n acel număr care are în componența sa toate cifrele de la 1 la n fără ca cifrele să se repete. De exemplu, 2143 e un număr pandigital de la 1 la 4 și, de asemenea, e un număr prim.

Care e cel mai mare număr pandigital de la 1 la 9 care e, de asemenea, un număr prim ?

Problema 42

25 Aprilie 2003

Al n-lea termen al șirului de numere triunghiulare este dat de, tn = ½n(n+1); deci primele 10 numere triunghiulare sunt:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Transformând fiecare literă dintr-un cuvânt într-un număr corespunzător cu poziția sa din alfabetul englez și adunând toate aceste numere, obținem o valoare a cuvântului. De exemplu, valoarea cuvântului SKY este 19 + 11 + 25 = 55 = t10. Dacă valoarea cuvântului e un număr triunghiular, atunci vom spune că cuvântul e triunghiular.

Folosind words.txt (click dreapta și 'Save Link/Target As...'), un fișier text de 16K care conține aproape doua mii de cuvinte în limba engleză, câte cuvinte sunt triunghiulare ?

Problema 43

09 Mai 2003

Numărul 1406357289 e un număr pandigital de la 1 la 9 pentru că e compus din fiecare cifră de la 1 la 9 într-o ordine oarecare, dar are o proprietate a divizibilității interesantă.

Fie d1 prima sa cifră, d2 a doua sa cifră, și așa mai departe. În felul acesta, observăm următoarele:

  • d2d3d4=406 e divizibil cu 2
  • d3d4d5=063 e divizibil cu 3
  • d4d5d6=635 e divizibil cu 5
  • d5d6d7=357 e divizibil cu 7
  • d6d7d8=572 e divizibil cu 11
  • d7d8d9=728 e divizibil cu 13
  • d8d9d10=289 e divizibil cu 17

Găsește suma tuturor numerelor pandigitale de la 1 la 9 care au această proprietate.

Problema 44

23 Mai 2003

Numerele pentagonale sunt generate de formula Pn=n(3n−1)/2. Primele 10 numere pentagonale sunt:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...

Se poate observa că P4 + P7 = 22 + 70 = 92 = P8. Totuși, diferența lor, 70 − 22 = 48, nu e un număr pentagonal.

Găsește perechea de numere pentagonale, Pj și Pk, pentru care suma și diferența lor e pentagonală și D = |Pk − Pj| are valoare minimă; care e valoarea lui D?

Problema 45

06 Iunie 2003

Numerele triunghiulare, pentagonale și hexagonale sunt generate de următoarele formule:

Triunghiular   Tn=n(n+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...
Pentagonal   Pn=n(3n−1)/2   1, 5, 12, 22, 35, ...
Hexagonal   Hn=n(2n−1)   1, 6, 15, 28, 45, ...

Se poate verifica că T285 = P165 = H143 = 40755.

Găsește următorul număr triunghiular care e, de asemenea, și pentagonal și hexagonal.

Problema 46

20 Iunie 2003

A fost propus de către Christian Goldback că orice număr impar neprim poate fi scris ca sumă dintre un număr prim și dublul unui pătrat.

9 = 7 + 2×12
15 = 7 + 2×22
21 = 3 + 2×32
25 = 7 + 2×32
27 = 19 + 2×22
33 = 31 + 2×12

S-a dovedit că ipoteza e greșită.

Care e cel mai mic număr impar neprim care nu poate fi scris ca sumă dintre un număr prim și dublul unui pătrat ?

Problema 47

04 Iulie 2003

Primele 2 numere consecutive care au doi factori primi distincți fiecare sunt:

14 = 2 × 7
15 = 3 × 5

Primele 3 numere consecutive care au trei factori primi distincți fiecare sunt:

644 = 2² × 7 × 23
645 = 3 × 5 × 43
646 = 2 × 17 × 19.

Găsește primele 4 numere consecutive care au patru factori primi distincți fiecare. Care e primul număr din cele patru ?

Problema 48

18 Iulie 2003

Suma 11 + 22 + 33 + ... + 1010 e egala cu 10405071317.

Găsește ultimele 10 cifre ale sumei 11 + 22 + 33 + ... + 10001000.

Problema 49

01 August 2003

Progresia aritmetică 1487, 4817, 8147, în care fiecare termen crește cu 3330, e neobișnuită din 2 motive: (i) fiecare din cei 3 termeni e un număr prim și, (ii) fiecare număr e o permutare a celorlalte două.

Nu există nici o progresie aritmetică cu termeni de 1, 2 sau 3 cifre care să îndeplinească aceste proprietăți, dar mai există încă una cu termeni de 4 cifre.

Ce număr de 12 cifre se obține prin alăturarea celor 3 termeni din progresia aritmetică cerută ?

Problema 50

15 August 2003

Numărul prim 41 poate fi scris ca sumă a 6 numere prime consecutive:

41 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13

Aceasta e cea mai lungă sumă de numere prime consecutive care e egală cu un număr prim și e mai mica decât 100.

Cea mai lungă sumă de numere prime consecutive care e egală cu un număr prim și e mai mica de 1000 conține 21 de termeni și e egala cu 953.

Care număr prim, mai mic de 1 milion, poate fi scris ca sumă a unui număr maxim de numere prime consecutive ?

Problema 51

29 August 2003

Prin înlocuirea primei cifre a numărului de 2 cifre *3, se dovedește că 6 din cele 9 posibile valori: 13, 23, 43, 53, 73 și 83 sunt numere prime.

Prin înlocuirea celei de-a 3-a și a 4-a cifră a numărului 56**3 cu aceeași cifră, acest număr de 5 cifre e primul exemplu unde 7 numere din cele 10 posibile sunt prime, creând familia: 56003, 56113, 56333, 56443, 56663, 56773 și 56993. În consecință, 56003, fiind primul membru al acestei familii, e cel mai mic număr prim cu această proprietate.

Găsește cel mai mic număr prim care, prin înlocuirea unei părți ai lui (nu neapărat cifre adiacente) cu aceeași cifră, e parte dintr-o familie cu 8 numere prime.

Problema 52

12 Septembrie 2003

Se poate observa că numărul 125874 și dublul său, 251748, conțin exact aceleași cifre, dar într-o altă ordine.

Găsește cel mai mic număr întreg pozitiv, x, astfel încât 2x, 3x, 4x, 5x, si 6x conțin aceleași cifre.

Problema 53

26 Septembrie 2003

Sunt exact zece moduri de a selecta 3 din 5, 12345:

123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245 și 345

În combinatorică, folosim notația 5C3 = 10.

În mod general,

nCr =
n!
r!(n−r)!
, unde rn, n! = n×(n−1)×...×3×2×1 și 0! = 1.

Doar când n atinge 23, valoarea depășește 1 milion: 23C10 = 1144066.

Câte valori, nu neapărat distincte, ai lui  nCr, pentru 1 ≤ n ≤ 100, sunt mai mari de 1 milion ?

Problema 54

10 Octombrie 2003

În jocul de cărți poker, o mână este formată din 5 cărți și e clasată de la cea mai mică la cea mai mare în următorul fel:

  • Carte Mare: Cartea cu cea mai mare valoare.
  • O Pereche: Două cărti de aceeași valoare.
  • Două Perechi: Două perechi diferite.
  • Trei de un Fel: Trei cărți de aceeași valoare.
  • Chintă: Toate cărțile au valori consecutive.
  • Culoare: Toate cărțile au aceeași culoare.
  • Full House: Trei cărți de un fel și o pereche.
  • Patru de un Fel: Patru cărți cu aceeași valoare.
  • Chintă de Culoare: Toate cărțile au valori consecutive și aceeași culoare.
  • Chintă Royală: Zecar, Valet, Damă, Popă, As, toate de aceeași culoare.

Cărțile au valorile în urmatoarea ordine:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Valet, Damă, Popă, As.

Daca doi jucători au același rang al mâinii, atunci rangul cu cele mai mari cărți câștigă; de exemplu, o pereche de optari câștigă în fața unei perechi de cinciari (vezi examplul 1 de mai jos). Dar dacă două ranguri sunt la fel, de exemplu, ambii jucători au o pereche de Dame, atunci cele mai mari cărți din fiecare mână sunt comparate (vezi exemplul 4 de mai jos); dacă cele mai mari cărți sunt la fel, atunci următoarele sunt comparate și așa mai departe.

Consideră următoarele 5 cărți date unor 2 jucători:

Mâna Jucătorul 1 Jucătorul 2 Câștigător
1 5H 5C 6S 7S KD
Pereche de Cinciari
 2C 3S 8S 8D TD
Pereche de Optari
 Jucătorul 2
2 5D 8C 9S JS AC
Carte Mare As
 2C 5C 7D 8S QH
Carte Mare Damă
 Jucătorul 1
3 2D 9C AS AH AC
Trei Ași
 3D 6D 7D TD QD
Culoare
 Jucătorul 2
4 4D 6S 9H QH QC
Pereche de Dame
Carte Mare Nouar
 3D 6D 7H QD QS
Pereche de Dame
Carte Mare Șeptar
 Jucătorul 1
5 2H 2D 4C 4D 4S
Full House
Cu Trei Pătrari
 3C 3D 3S 9S 9D
Full House
Cu Trei Treiari
 Jucătorul 1

Fișierul poker.txt conține o mie de mâini aleatoare acordate unor 2 jucători. Fiecare linie conține zece cărți (separate de un singur spațiu): primele cinci cărți aparțin jucătorului 1, ultimele cinci cărți aparțin jucătorului 2. Se poate presupune că toate mâinile sunt valide (fără caractere invalide sau cărți care se repetă), cărțile unui jucător nu sunt într-o anumită ordine iar în fiecare mână există un câștigător evident.

Câte mâini câștigă Jucătorul 1 ?

Problema 55

24 Octombrie 2003

Dacă luăm 47, îl inversăm și îl adunăm, 47 + 74 = 121, care e palindromic.

Nu toate numerele produc un palindrom atât de repede. De exemplu,

349 + 943 = 1292,
1292 + 2921 = 4213
4213 + 3124 = 7337

Adică 349 a avut nevoie de trei iterații pentru a ajunge la un palindrom.

Chiar dacă nimeni nu a dovedit-o încă, se crede că unele numere, cum ar fi 196, nu produc niciodată un palindrom. Un număr care nu produce niciodata un palindrom prin procesul de inversare si adunare se numește un număr Lychrel. Datorită naturii teoretice a acestor numere, și pentru scopul acestei probleme, o să presupunem că un număr e Lychrel până la proba contrarie. În plus, iți este dat că, pentru orice număr mai mic de zece mii, un număr fie (i) va deveni palindrom în mai puțin de 50 de iterații, fie (ii) nimeni, cu toată puterea computațională care există, nu a reușit să îl asocieze unui palindrom. De fapt, 10677 e primul număr care s-a dovedit că are nevoie de mai mult de 50 de iterații pentru a produce un palindrom: 4668731596684224866951378664 (53 de iterații, 28 de cifre).

În mod surprinzător, sunt numere palindromice care sunt ele înșiși numere Lychrel; primul exemplu e 4994.

Câte numere Lychrel mai mici de zece mii există ?

Problema 56

07 Noiembrie 2003

Un googol (10100) e un număr uriaș: cifra 1 urmată de 100 de zerouri; 100100 e aproape inimaginabil de mare: cifra 1 urmată de 200 de zerouri. În ciuda dimensiunii lor, suma cifrelor ambelor numere este doar 1.

Considerând numere naturale de forma ab, unde a, b < 100, care este suma maximă a cifrelor acestui număr ?

Problema 57

21 Noiembrie 2003

Se poate demonstra că radicalul lui 2 se poate exprima ca o fracție continuă infinită.

√ 2 = 1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + ... ))) = 1.414213...

Dezvoltând pentru primele 4 iterații, obținem:

1 + 1/2 = 3/2 = 1.5
1 + 1/(2 + 1/2) = 7/5 = 1.4
1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2)) = 17/12 = 1.41666...
1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2))) = 41/29 = 1.41379...

Următoarele 3 dezvoltări sunt 99/70, 239/169 și 577/408, dar a opta dezvoltare, 1393/985, e primul exemplu unde numărul de cifre din numărător depășește numărul de cifre din numitor.

În primele o mie de dezvoltări, câte fracții au un numărător cu mai multe cifre decât numitorul ?

Problema 58

05 Decembrie 2003

Începând cu 1 și mergând în spirală în sens trigonometric în următorul fel, o spirală pătrată de dimensiune laterală 7 e formată.

37 36 35 34 33 32 31
38 17 16 15 14 13 30
39 18  5  4  3 12 29
40 19  6  1  2 11 28
41 20  7  8  9 10 27
42 21 22 23 24 25 26
43 44 45 46 47 48 49

E interesant de notat faptul că pătratele impare merg de-a lungul diagonalei de jos dreapta, dar ce e mai interesant e că, 8 din cele 13 numere de pe diagonale sunt numere prime; adica un raport de 8/13 ≈ 62%.

Dacă un nou strat se înfășoară în jurul spiralei, o nouă spirală pătrata se va forma, de dimensiune laterală 9. Dacă acest proces e continuat, care e lungimea laterală a spiralei pătrate pentru care raportul numerelor prime de pe ambele diagonale cade pentru prima oară sub 10 % ?

Problema 59

19 Decembrie 2003

Fiecărui caracter din calculator îi este atribuit un cod unic iar standardul preferat e ASCII (American Standard Code for Information Interchange). De exemplu, A = 65, asteriscul (*) = 42, și k = 107.

O metodă modernă de criptare presupune luarea unui fișier text, conversia octeților în ASCII, apoi aplicarea funcției XOR pe fiecare octet împreună cu o valoare luată dintr-o cheie secretă. Avantajul dat de funcția XOR este dat de faptul că, folosind aceeași cheie de criptare pe cifru, se poate restaura textul original; de exemplu, 65 XOR 42 = 107, apoi 107 XOR 42 = 65.

Pentru o criptare care nu poate fi spartă, cheia are aceeași lungime ca și mesajul și e compusă din octeți aleatorii. Utilizatorul ar ține mesajul criptat și cheia în locații diferite și, fără ambele "jumătăți", e imposibil de decriptat mesajul.

Din păcate, această metodă e impractică pentru majoritatea utilizatorilor, așa că metoda modificată este folosirea unei parole drept cheie. Dacă parola e mai scurtă decât mesajul, ceea ce e probabil, cheia e repetată ciclic de-a lungul mesajului. Un bun echilibru pentru această metodă e de a folosi o parolă suficient de lungă pentru a fi sigură, dar suficient de scurtă pentru a putea fi memorată.

Problema ta tocmai a fost facută ușoară, deoarece cheia de criptare constă din 3 litere mici. Folosind cipher1.txt (click dreapta și 'Save Link/Target As...'), un fișier conținând codurile ASCII criptate, și faptul că mesajul decriptat trebuie să conțină cuvinte comune limbii engleze, decriptează mesajul și află suma valorilor ASCII din mesajul original.

Problema 60

02 Ianuarie 2004

Numerele prime 3, 7, 109 și 673 sunt remarcabile. Luând oricare 2 din ele și alăturandu-le în orice ordine, rezultatul e mereu un număr prim. De exemplu, luând 7 și 109, atât 7109 cât și 1097 sunt numere prime. Suma acestor 4 numere prime, 792, reprezintă cea mai mică sumă a unui set de 4 numere prime care au această proprietate.

Găsește cea mai mică sumă a unui set de 5 numere prime pentru care alăturarea oricaror 2 din ele va produce un număr prim.

Problema 61

16 Ianuarie 2004

Numerele triunghiulare, pătrate, pentagonale, hexagonale, heptagonale și octogonale sunt toate numere poligonale și sunt generate de următoarele formule:

Triunghiular   P3,n=n(n+1)/2   1, 3, 6, 10, 15, ...
Patrat   P4,n=n2   1, 4, 9, 16, 25, ...
Pentagonal   P5,n=n(3n−1)/2   1, 5, 12, 22, 35, ...
Hexagonal   P6,n=n(2n−1)   1, 6, 15, 28, 45, ...
Heptagonal   P7,n=n(5n−3)/2   1, 7, 18, 34, 55, ...
Octagonal   P8,n=n(3n−2)   1, 8, 21, 40, 65, ...

Mulțimea ordonată a următoarelor trei numere a câte 4 cifre are 3 proprietăți interesante: 8128, 2882, 8281.

  1. Mulțimea e ciclică, adică ultimele 2 cifre ale fiecărui număr sunt identice cu primele 2 cifre ale numărului următor (se aplică inclusiv la perechea formată din primul și ultimul număr).
  2. Fiecare tip poligonal: triunghiular (P3,127=8128), pătrat (P4,91=8281), și pentagonal (P5,44=2882), e reprezentat de un alt număr în cadrul mulțimii.
  3. Aceasta e singura mulțime de numere de 4 cifre care au această proprietate.

Găsește suma singurei mulțimi ciclice ordonate de 6 numere a câte 4 cifre fiecare în care fiecare tip poligonal: triunghiular, pătrat, pentagonal, hexagonal, heptagonal și octagonal e reprezentat de către un alt număr din cadrul mulțimii.

Problema 62

30 Ianuarie 2004

Cubul 41063625 (3453) poate fi permutat pentru a produce 2 alte cuburi: 56623104 (3843) și 66430125 (4053). De fapt, 1063625 e cel mai mic cub care are exact 3 permutații care sunt, la randul lor, cuburi.

Găsește cel mai mic cub pentru care exact 5 permutații ale sale sunt cuburi.

Problema 63

13 Februarie 2004

Numărul de cinci cifre 16807=75 e egal cu un alt număr la puterea a 5-a. În mod similar, numărul de 9 cifre 134217728=89 e egal cu un alt număr la puterea a 9-a.

Câte numere pozitive de n cifre există care sunt egale cu un alt număr la puterea a n-a ?

Problema 64

27 Februarie 2004

Toate rădăcinile pătrate sunt periodice atunci când sunt scrise ca fracții continue, ele pot fi scrise în următorul fel:

N = a0 +
1
  a1 +
1
    a2 +
1
      a3 + ...

De exemplu, să considerăm √23:

√23 = 4 + √23 — 4 = 4 + 
1
 = 4 + 
1
 
1
√23—4
  1 + 
√23 – 3
7

Dacă continuăm, o să obținem următoarea dezvoltare:

√23 = 4 +
1
  1 +
1
    3 +
1
      1 +
1
        8 + ...

Acest proces poate fi rezumat în felul următor:

a0 = 4,  
1
√23—4
 = 
√23+4
7
 = 1 + 
√23—3
7
a1 = 1,  
7
√23—3
 = 
7(√23+3)
14
 = 3 + 
√23—3
2
a2 = 3,  
2
√23—3
 = 
2(√23+3)
14
 = 1 + 
√23—4
7
a3 = 1,  
7
√23—4
 = 
7(√23+4)
7
 = 8 +  √23—4
a4 = 8,  
1
√23—4
 = 
√23+4
7
 = 1 + 
√23—3
7
a5 = 1,  
7
√23—3
 = 
7(√23+3)
14
 = 3 + 
√23—3
2
a6 = 3,  
2
√23—3
 = 
2(√23+3)
14
 = 1 + 
√23—4
7
a7 = 1,  
7
√23—4
 = 
7(√23+4)
7
 = 8 +  √23—4

Se poate vedea că secvența e repetitivă. Pentru a fi conciși, o să folosim notația √23 = [4;(1,3,1,8)], pentru a indica că blocul (1,3,1,8) se repetă la infinit.

Primele 10 reprezentații ale fracțiilor continue ale rădăcinilor pătrate iraționale sunt:

√2=[1;(2)], perioada=1
√3=[1;(1,2)], perioada=2
√5=[2;(4)], perioada=1
√6=[2;(2,4)], perioada=2
√7=[2;(1,1,1,4)], perioada=4
√8=[2;(1,4)], perioada=2
√10=[3;(6)], perioada=1
√11=[3;(3,6)], perioada=2
√12= [3;(2,6)], perioada=2
√13=[3;(1,1,1,1,6)], perioada=5

Exact 4 fracții continue, pentru N ≤ 13, au perioada impară.

Câte fracții continue pentru N ≤ 10000 au perioada impară ?

Problema 65

12 Martie 2004

Rădăcina pătrată a lui 2 poate fi scrisă ca o fracție continuă care merge la infinit.

√2 = 1 +
1

  2 +
1

    2 +
1

      2 +
1

        2 + ...

Fracția continuă infinită poate fi scrisă, √2 = [1;(2)], (2) indică că 2 se repetă la infinit. În mod similar, √23 = [4;(1,3,1,8)].

Se pare că șirul de valori parțiale a fracțiilor continue pentru rădăcinile pătrate oferă cele mai bune aproximări raționale ale acestora. Să considerăm convergenții pentru √2.

1 +
1

= 3/2
 
2
 
1 +
1

= 7/5
  2 +
1

   
2
 
1 +
1

= 17/12
  2 +
1

 
    2 +
1

 
     
2
 
1 +
1

= 41/29
  2 +
1

    2 +
1

 
      2 +
1

 
       
2
 

Prin urmare, primii 10 termeni din șirul convergenților pentru √2 sunt:

1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378, ...

Cel mai surprinzător e că constanta matematică,
e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 , ... , 1,2k,1, ...].

Primii 10 termeni ai șirului de convergenți pentru e sunt:

2, 3, 8/3, 11/4, 19/7, 87/32, 106/39, 193/71, 1264/465, 1457/536, ...

Suma cifrelor numărătorului celui de-al 10lea convergent e 1+4+5+7=17.

Găsește suma cifrelor numărătorului celui de-al 100lea convergent al fracției continue pentru e.

Problema 66

26 Martie 2004

Consideră ecuațiile pătratice Diofantine de forma:

x2 – Dy2 = 1

De exemplu, când D=13, soluția minimă a lui x e 6492 – 13×1802 = 1.

Se poate presupune ca nu există soluții în mulțimea numerelor naturale când D e un pătrat perfect.

Căutând soluțiile minime ale lui x pentru D = {2, 3, 5, 6, 7}, obținem următoarele:

32 – 2×22 = 1
22 – 3×12 = 1
92 – 5×42 = 1
52 – 6×22 = 1
82 – 7×32 = 1

Prin urmare, considerând soluțiile minime ale lui x pentru D ≤ 7, cel mai mare x e obținut pentru D=5.

Pentru D ≤ 1000, găsește soluțiile minime ale lui x. Pentru cel mai mare x din aceste 1000 de soluții, care e valoarea corespunzătoare a lui D ?

Problema 67

09 Aprilie 2004

Începând din vârful triunghiului de mai jos și mergând la numerele adiacente de pe rândul inferior, suma maximă a numerelor prin care trecem din vârf până la bază e 23.

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

Adică 3 + 7 + 4 + 9 = 23.

Găsește suma maximă din varf până la bază în triangle.txt (click dreapta și 'Save Link/Target As...'), un fișier text de 15K care conține un triunghi cu 100 de rânduri.

NOTĂ: Aceasta e o versiune mult mai dificilă a Problemei 18. Nu e posibilă încercarea fiecarei rute pentru a rezolva această problemă, deoarece sunt 299 rute in total ! Dacă ai putea încerca 1 trilion (1012) de rute în fiecare secundă, ar dura peste 20 de miliarde de ani pentru a le încerca pe toate. Există un algoritm eficient de rezolvare. ;o)

Problema 69

07 Mai 2004

Indicatorul lui Euler, φ(n) [câteodată numită funcția phi], e folosit pentru a determina câte numere mai mici decât n sunt relativ prime la n. De exemplu, cum 1, 2, 4, 5, 7 și 8 sunt toate mai mici decât 9 și relativ prime la 9, φ(9)=6.

n Relativ Prime φ(n) n/φ(n)
2 1 1 2
3 1,2 2 1.5
4 1,3 2 2
5 1,2,3,4 4 1.25
6 1,5 2 3
7 1,2,3,4,5,6 6 1.1666...
8 1,3,5,7 4 2
9 1,2,4,5,7,8 6 1.5
10 1,3,7,9 4 2.5

Se poate vedea că n=6 produce valoarea maximă n/φ(n) pentru n ≤ 10.

Găsește valoarea lui n ≤ 1,000,000 pentru care n/φ(n) are valoare maximă.

Problema 70

21 Mai 2004

Indicatorul lui Euler, φ(n) [cateodată numit funcția phi], e folosit pentru a determina câte numere pozitive mai mici decât n există care sunt relativ prime la n. De exemplu, cum 1, 2, 4, 5, 7 și 8 sunt toate mai mici decât 9 și sunt relativ prime la 9, φ(9)=6.
Numărul 1 e considerat a fi relativ prim la toate numerele naturale, deci φ(1)=1.

În mod interesant, φ(87109)=79180, și se poate observa că 87109 e o permutare a lui 79180.

Găsește valoarea lui n, 1 < n < 107, pentru care φ(n) e o permutare a lui n și fracția n/φ(n) are valoare minimă.

Problema 71

04 Iunie 2004

Consideră fracția, n/d, unde n și d sunt numere naturale. Dacă n<d si CMMDC(n,d)=1, această fracție e o fracție simplificată.

Dacă listăm mulțimea fracțiilor simplificate pentru d ≤ 8 în ordine crescătoare, obținem:

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

Se poate observa că 2/5 e fracția imediat la stânga lui 3/7.

Listând mulțimea fracțiilor simplificate pentru d ≤ 1,000,000 în ordine crescătoare, găsește numărătorul fracției imediat la stânga lui 3/7.

Problema 72

18 Iunie 2004

Consideră fracția n/d, unde n și d sunt numere naturale. Dacă n<d și CMMDC(n,d)=1, această fracție e o fracție simplificată.

Dacă listăm mulțimea fracțiilor simplificate pentru d ≤ 8 in ordine crescătoare, obținem:

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

Se poate observa că sunt 21 de fracții în această mulțime.

Câte fracții sunt în mulțimea fracțiilor simplificate pentru d ≤ 1,000,000 ?

Problema 73

02 Iulie 2004

Consideră fracția n/d, unde n și d sunt numere naturale. Dacă n<d și CMMDC(n,d)=1, atunci fracția e o fracție simplificată.

Dacă listăm mulțimea fracțiilor simplificate pentru d ≤ 8 în ordine crescătoare, obținem:

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

Se poate observa că sunt 3 fracții între 1/3 și 1/2.

Câte fracții se află între 1/3 și 1/2 în mulțimea ordonată crescător a fracțiilor simplificate pentru d ≤ 12,000 ?

Problema 74

16 Iulie 2004

Numărul 145 e binecunoscut pentru proprietatea că, suma factorialelor cifrelor sale e 145:

1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145

Poate mai puțin cunoscut e 169, el produce cel mai lung lanț de numere care se întoarce la 169; se pare că există doar 3 astfel de lanțuri:

169 → 363601 → 1454 → 169
871 → 45361 → 871
872 → 45362 → 872

Nu e dificil de demonstrat că FIECARE număr de început o să rămână blocat într-o buclă. De exemplu,

69 → 363600 → 1454 → 169 → 363601 (→ 1454)
78 → 45360 → 871 → 45361 (→ 871)
540 → 145 (→ 145)

Începând cu 69, se produce un lanț de 5 termeni distincți, dar cel mai lung lanț cu termeni distincți, unde numărul de început e mai mic de 1 milion, conține 60 de termeni.

Câte lanțuri, cu un număr de început mai mic de 1 miliom, conțin exact 60 de termeni distincți ?

Problema 75

30 Iulie 2004

Se pare că 12 cm e cea mai mică lungime de sfoară care poate fi îndoită în exact 1 fel pentru a forma un triunghi dreptunghic având lungimile laturilor numere naturale, dar sunt mai multe exemple.

12 cm: (3,4,5)
24 cm: (6,8,10)
30 cm: (5,12,13)
36 cm: (9,12,15)
40 cm: (8,15,17)
48 cm: (12,16,20)

Unele lungimi de sfoară, cum ar fi 20 cm, nu pot fi îndoite pentru a forma un triunghi dreptunghic cu lungimile laturilor numere naturale, iar alte lungimi permit mai multe soluții; de exemplu, având o sfoară de 120 cm e posibil să formezi exact 3 triunghiuri dreptunghice diferite care au laturile numere naturale.

120 cm: (30,40,50), (20,48,52), (24,45,51)

Având L, lungimea sfoarei, pentru câte valori ale lui L ≤ 1,500,000 se poate forma exact 1 triunghi dreptunghic cu lungimile laturilor numere naturale ?

Notă: Această problemă a fost schimbată recent, verificați că aveți parametrii corecți.

Problema 76

13 August 2004

E posibil să scrii numărul 5 ca sumă în exact 6 feluri diferite:

4 + 1
3 + 2
3 + 1 + 1
2 + 2 + 1
2 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1

În câte feluri se poate scrie 100 ca sumă a cel puțin 2 numere naturale ?

Problema 77

27 August 2004

Numărul 10 poate fi scris ca sumă a unor numere prime în exact 5 feluri diferite:

7 + 3
5 + 5
5 + 3 + 2
3 + 3 + 2 + 2
2 + 2 + 2 + 2 + 2

Care e cel mai mic număr care poate fi scris ca sumă a unor numere prime în mai mult de 5000 de feluri diferite ?

Problema 78

10 Septembrie 2004

Fie p(n) numărul de feluri diferite în care n monede pot fi grupate în grămezi. De exemplu, 5 monede pot fi grupate în grămezi în exact 7 feluri diferite, deci p(5)=7.

OOOOO
OOOO   O
OOO   OO
OOO   O   O
OO   OO   O
OO   O   O   O
O   O   O   O   O

Găsește valoarea minimă a lui n pentru care p(n) e divizibil cu 1 milion.

Problema 79

17 Septembrie 2004

O metodă obișnuită de securitate pentru online banking e să ceri utilizatorului 3 caractere aleatorii dintr-o parolă. De exemplu, dacă parola ar fi 531278, s-ar putea cere al 2-lea, al 3-lea și al 5-lea caracter; răspunsul așteptat ar fi: 317.

Fișierul text keylog.txt conține 50 de încercări reușite de logare.

Având în vedere că cele 3 caractere sunt cerute mereu în ordine, analizează fișierul și determină cea mai scurtă parolă posibilă de lungime necunoscuta.

Problema 80

08 Octombrie 2004

E binecunoscut faptul că, dacă rădăcina pătrată a unui număr natural nu e un număr întreg, atunci această rădăcină e irațională. Partea fracționară a acestor rădăcini pătrate merge la infinit, fără nici un fel de repetitivitate.

Rădăcina pătrata a lui 2 este 1.41421356237309504880..., iar suma primelor 100 de cifre e 475.

Pentru primele 100 de numere naturale, găseste suma totală a primelor 100 de cifre pentru toate rădăcinile pătrate iraționale.

Problema 81

22 Octombrie 2004

În matricea de dimensiune 5 pe 5 de mai jos, suma minimă a căii din colțul de sus stânga până la cel de jos dreapta, mergând doar spre dreapta și în jos, e indicată cu scris roșu îngroșat și e egală cu 2427.


13167323410318
20196342965150
630803746422111
537699497121956
80573252437331

Găsește suma minimă a căii din colțul de sus stânga până la cel de jos dreapta, mergând doar în jos și la dreapta, a matricii din matrix.txt (click dreapta și 'Save Link/Target As...'), un fișier text de 31K care conține o matrice de dimensiune 80 pe 80.

Problema 82

05 Noiembrie 2004

NOTĂ: Această problemă e o variantă mai grea a Problemei 81.

În matricea de dimensiune 5 pe 5 de mai jos, suma minimă a căii începând din orice celulă din coloana din stangă și terminând în orice celulă din coloana din dreapta, și mergând doar în sus, jos și dreapta, e indicată cu scris roșu îngroșat; suma e egală cu 994.


13167323410318
20196342965150
630803746422111
537699497121956
80573252437331

Găsește suma minimă a căii de la coloana din stânga la coloana din dreapta a matricii din matrix.txt (click dreapta și 'Save Link/Target As...'), un fișier text de 31K care conține o matrice de dimensiune 80 pe 80.

Problema 83

19 Noiembrie 2004

NOTĂ: Această problemă e o variantă cu mult mai grea a Problemei 81.

În matricea de dimensiune 5 pe 5 de mai jos, suma minimă a căii din colțul de stânga sus până la cel de dreapta jos, mergând la stânga, la dreapta, în sus și în jos, e indicată cu scris roșu îngroșat și e egală cu 2297.


13167323410318
20196342965150
630803746422111
537699497121956
80573252437331

Găsește suma căii minime de la colțul de sus stânga până la cel de jos dreapta, și mergând spre stânga, spre dreapta, în sus și în jos a matricii matrix.txt (click dreapta și 'Save Link/Target As...'), un fisier text de 31K care conține o matrice de dimensiune 80 pe 80.

Problema 85

17 Decembrie 2004

Numărând atent, se poate observa că o grilă dreptunghiulară de dimensiune 3 pe 2 conține 18 dreptunghiuri:

Chiar dacă nu există nici o grilă dreptunghiulară care conține exact 50 de milioane de dreptunghiuri, găsește aria grilei cu cea mai apropiată soluție.

Problema 86

07 Ianuarie 2005

Un păianjen, S, stă într-un colț al unei camere paralelipipedice, măsurând 6 pe 5 pe 3, și o muscă, F, stă în colțul opus. Mergând pe laturile camerei, cea mai scurtă "linie dreaptă" de la S la F e 10, această linie e desenată pe diagramă.


Totuși, sunt până la 3 "cele mai scurte" căi pentru orice paralelipiped și cea mai scurtă rută nu e întotdeauna un număr întreg.

Considerând toate camerele paralelipipede cu dimensiuni numere întregi, până la o dimensiune maxima M pe M pe M, există exact 2060 de camere pentru care cea mai scurtă cale e un număr întreg când M = 100; aceasta e cea mai mica valoare a lui M pentru care numărul soluțiilor depășește 2000. Numărul de soluții pentru M = 99 e 1975..

Găsește cea mai mică valoare a lui M astfel încât numărul soluțiilor depășește pentru prima oară 1 milion.

Problema 87

21 Ianuarie 2005

Cel mai mic număr care poate fi exprimat ca sumă dintre pătratul unui număr prim, cubul unui număr prim și a 4-a putere a unui număr prim e 28. De fapt, sunt exact 4 numere mai mici de 50 care pot fi exprimate în acest fel:

28 = 22 + 23 + 24
33 = 32 + 23 + 24
49 = 52 + 23 + 24
47 = 22 + 33 + 24

Câte numere mai mici de 50 de milioane pot fi exprimate ca sumă dintre pătratul unui număr prim, cubul unui număr prim și a 4-a putere a unui număr prim ?

Problema 89

18 Februarie 2005

Regulile de scriere ale numerelor romane permit scrierea unui număr în mai multe feluri (vezi Cifre Romane...). Totuși, întotdeauna există "cea mai bună" variantă de a scrie un anumit număr.

De exemplu, următoarele numere romane sunt toate forme corecte de scriere a numărului 16:

IIIIIIIIIIIIIIII
VIIIIIIIIIII
VVIIIIII
XIIIIII
VVVI
XVI

Ultimul exemplu e considerat cel mai eficient deoarece folosește cele mai puține cifre.

Fișierul text de 11K, roman.txt (click dreapta și 'Save Link/Target As...'), conține o mie de numere romane scrise într-o formă validă, dar nu neapărat minimală; adică cifrele sunt aranjate în ordine descrescătoare și respectă regula de scădere specifică numerelor romane.

Găsește câte caractere se economisesc prin scrierea acestor numere în forma lor minimală.

Notă: Poți presupune că toate numerele romane din fișier conțin maxim patru cifre consecutive de același fel.

Problema 91

18 Martie 2005

Punctele P (x1, y1) și Q (x2, y2) sunt amplasate la coordonate întregi și, împreună cu originea O(0,0), formează ΔOPQ.


Sunt exact 14 triunghiuri dreptunghice care pot fi formate când fiecare coordonată e între 0 și 2 inclusiv; mai exact,
0 ≤ x1, y1, x2, y2 ≤ 2.


Dacă 0 ≤ x1, y1, x2, y2 ≤ 50, câte triunghiuri dreptunghice pot fi formate ?

Problema 93

15 Aprilie 2005

Folosind toate cifrele din mulțimea {1, 2, 3, 4} exact 1 dată, și folosind cele patru operații aritmetice (+, −, *, /) și paranteze, e posibil să obții numere întregi pozitive.

De exemplu,

8 = (4 * (1 + 3)) / 2
14 = 4 * (3 + 1 / 2)
19 = 4 * (2 + 3) − 1
36 = 3 * 4 * (2 + 1)

Ține cont că alăturarea cifrelor nu e permisă; de exemplu, 12 + 34.

Folosind mulțimea {1, 2, 3, 4} e posibil să obții 31 de numere diferite, din care 36 e maximul, iar fiecare număr de la 1 la 28 poate fi obținut înainte de a ajunge la un număr care nu poate fi exprimat folosind regulile de mai sus.

Găsește mulțimea de patru cifre distincte, a < b < c < d, pentru care se poate obține cel mai lung șir de numere naturale consecutive, de la 1 la n; introdu răspunsul alăturând cele patru cifre: abcd.

Problema 94

29 Aprilie 2005

Se poate demonstra cu ușurință că nu există nici un triunghi echilateral având atât laturile cât și aria numere întregi. Totuși, triunghiul aproape echilateral 5-5-6 are o arie de 12.

Fie un triunghi aproape echilateral acel triunghi unde 2 laturi sunt egale și a 3-a diferă cu cel mult 1 unitate.

Găsește suma perimetrelor tuturor triunghiurilor aproape echilaterale având laturile și aria numere întregi și a căror perimetru nu depășește 1 miliard (1,000,000,000).

Problema 97

10 Iunie 2005

Primul număr prim găsit care are mai mult de 1 milion de cifre a fost descoperit în 1999, și e un număr prim Mersenne de forma 26972593−1; conține exact 2,098,960 de cifre. După asta, mai multe numere prime Mersenne de forma 2p−1 au fost găsite, având mai multe cifre.

În 2004, a fost găsit un număr prim non-Mersenne masiv care conține 2,357,207 de cifre: 28433×27830457+1.

Află ultimele 10 cifre ale acestui număr prim.

Problema 99

01 Iulie 2005

Compararea a două numere scrise ca puteri, ca de exemplu 211 și 37, nu e dificilă, deoarece fiecare calculator o să confirme că 211 = 2048 < 37 = 2187.

Totuși, confirmând că 632382518061 > 519432525806 ar fi mult mai dificil, pentru că fiecare din cele două numere conțin peste 3 milioane de cifre.

Folosind base_exp.txt (click dreapta și 'Save Link/Target As...'), un fișier text de 22K care conține o mie de linii cu o pereche bază/exponent pe fiecare linie, determină care linie conține cea mai mare valoare numerică.

NOTĂ: Primele 2 linii din fișier conțin numerele din exemplul dat mai sus.

Problema 100

15 Iulie 2005

Dacă o cutie conține 21 de discuri colorate, compusă din 15 discuri albastre și 6 discuri roșii, și două discuri aleatorii ar fi extrase, se poate observa cî probabilitatea de a extrage 2 discuri albastre e P(BB) = (15/21)×(14/20) = 1/2.

Următorul aranjament de acest tip, pentru care șansa de a extrage două discuri albastre aleatorii e 50 %, e o cutie care conține 85 de discuri albastre și 35 de discuri roșii.

Găsind primul aranjament de acest fel care conține peste 1012 = 1,000,000,000,000 discuri în total, determină câte discuri albastre ar conține cutia.

Problema 102

12 August 2005

Trei puncte distincte sunt puse aleatoriu pe un plan cartezian, pentru care -1000 ≤ x, y ≤ 1000, astfel încât cele 3 puncte formează un triunghi.

Consideră următoarele 2 triunghiuri:

A(-340,495), B(-153,-910), C(835,-947)

X(-175,41), Y(-421,-714), Z(574,-645)

Se poate verifica că triunghiul ABC conține originea, în timp ce triunghiul XYZ nu o conține.

Folosind triangles.txt (click dreapta și 'Save Link/Target As...'), un fișier text de 27K care conține coordonatele a o mie de triunghiuri "aleatorii", află câte triunghiuri conțin în interiorul lor originea.

NOTĂ: Primele 2 exemple din fișier sunt triunghiurile exemplificate mai sus.

Problema 104

09 Septembrie 2005

Șirul lui Fibonacci e definit de relația de recurență:

Fn = Fn−1 + Fn−2, unde F1 = 1 și F2 = 1.

Se pare că F541, care conține 113 cifre, e primul termen din șir la care ultimele 9 cifre sunt pandigitale de la 1 la 9 (conține toate cifrele de la 1 la 9, dar nu neapărat în ordine). Iar F2749, care conține 575 de cifre, e primul termen din șir unde primele 9 cifre sunt pandigitale de la 1 la 9.

Dacă Fk e primul termen din șir la care atât primele 9 cifre cât și ultimele 9 cifre sunt pandigitale de la 1 la 9, află k.

Problema 107

21 Octombrie 2005

Următorul graf neorientat constă din 7 vârfuri și 12 laturi cu o pondere totală de 243.


Același graf poate fi reprezentat folosind matricea de mai jos.

    ABCDEFG
A-161221---
B16--1720--
C12--28-31-
D211728-181923
E-20-18--11
F--3119--27
G---231127-

Totuși, e posibil să optimizezi rețeaua îndepărtând unele laturi și asigurându-te că toate punctele rămân conectate. Graful care atinge un nivel maxim de economisire e afișat mai jos. Are o pondere de 93, reprezentând o economisire de 243 − 93 = 150 comparativ cu graful original.


Folosind network.txt (click dreapta și 'Save Link/Target As...'), un fișier text de 6K care conține un graf cu 40 de vârfuri reprezentat sub forma unei matrici, găsește nivelul maxim de economisire care poate fi atins prin îndepărtarea laturilor care sunt în plus astfel încât graful să rămână conectat.

Problema 108

04 Noiembrie 2005

În următoarea ecuație, x, y și n sunt numere întregi pozitive.

1

x
+
1

y
=
1

n

Pentru n = 4 sunt exact 3 soluții distincte:

1

5
+
1

20
=
1

4
1

6
+
1

12
=
1

4
1

8
+
1

8
=
1

4

Care e cea mai mică valoare a lui n pentru care numărul soluțiilor distincte depășește 1000 ?

NOTĂ: Această problemă e o variantă mai ușoară a problemei 110; e foarte indicat să rezolvați această problemă (108) mai întâi.

Problema 110

02 Decembrie 2005

În următoarea ecuație x, y și n sunt numere întregi pozitive.

1

x
+
1

y
=
1

n

Se poate verifica că, atunci când n = 1260, sunt 113 soluții distincte; aceasta e cea mai mică valoare a lui n pentru care numărul soluțiilor distincte depășește 100.

Care e cea mai mică valoare a lui n pentru care numărul soluțiilor distincte depășește 4 milioane ?

NOTĂ: Această problemă e o varianta mult mai dificilă a problemei 108 și e cu mult peste posibilitățile unei abordări prin forță brută; necesită o implementare inteligentă.

Problema 111

16 Decembrie 2005

Ia în considerare numere prime de 4 cifre care conțin cifre care se repetă; e clar că nu toate cifrele pot fi identice: 1111 e divizibil cu 11, 2222 e divizibil cu 22, și așa mai departe. Dar sunt 9 numere prime de 4 cifre care conțin 3 cifre de 1:

1117, 1151, 1171, 1181, 1511, 1811, 2111, 4111, 8111

O să zicem că M(n, d) reprezintă numărul maxim de cifre care se repetă într-un număr prim de n cifre, unde d e cifra care se repetă is the repeated digit, N(n, d) reprezintă numărul de astfel de numere prime și S(n, d) e suma acestora.

Deci M(4, 1) = 3 e numărul maxim de cifre care se repetă pentru un număr prim de 4 cifre, unde 1 e cifra care se repetă, sunt N(4, 1) = 9 astfel de numere prime și suma lor e S(4, 1) = 22275. Se pare că pentru d = 0 e posibil să ai doar M(4, 0) = 2 cifre care se repetă, dar sunt N(4, 0) = 13 astfel de cazuri.

În același mod obținem următoarele rezultate pentru numere prime de 4 cifre.

Cifra, d M(4, d) N(4, d) S(4, d)
0 2 13 67061
1 3 9 22275
2 3 1 2221
3 3 12 46214
4 3 2 8888
5 3 1 5557
6 3 1 6661
7 3 9 57863
8 3 1 8887
9 3 7 48073

Pentru d = de la 0 la 9, suma tuturor valorilor lui S(4, d) e 273700.

Găsește suma tuturor valorilor lui S(10, d).

Problema 112

30 Decembrie 2005

Citind de la stânga la dreapta, dacă nici o cifră nu e mai mare decât cifra din stânga ei, atunci numărul e crescător; de exemplu, 134468.

În mod similar, dacă nici o cifră nu e depășită de cea din dreapta ei, atunci numărul e descrescător; de exemplu, 66420.

O să numim un număr natural care nu e nici crescător nici descrescător un număr "săritor"; de exemplu, 155349.

Evident, nu există nici un număr săritor mai mic de 100, dar cam jumătate din numerele mai mici de o mie (525) sunt săritoare. De fapt, cel mai mic număr pentru care proporția numerelor săritoare atinge pentru prima oară 50% e 538.

În mod surprinzător, numerele săritoare devin tot mai frecvente și, când se atinge 21780, proporția e 90%.

Găseste cel mai mic număr pentru care proporția de numere săritoare e exact 99%.

Problema 113

10 Februarie 2006

Citind de la stânga la dreapta, dacă nici o cifră nu e mai mare decât cifra din stânga ei, atunci numărul e crescător; de exemplu, 134468.

În mod similar, dacă nici o cifră nu e depășită de cea din dreapta ei, atunci numărul e descrescător; de exemplu, 66420.

O să numim un număr natural care nu e nici crescător nici descrescător un număr "săritor"; de exemplu, 155349.

Pe masură ce n crește, proporția numerelor săritoare mai mici de n crește, astfel încât sunt doar 12951 numere mai mici de 1 milion care nu sunt săritoare și doar 277032 de numere non-săritoare mai mici de 1010.

Câte numere mai mici de un googol (10100) nu sunt săritoare ?

Problema 118

24 Martie 2006

Folosind toate cifrele de la 1 la 9 și alăturându-le în orice fel pentru a forma alte numere, diferite mulțimi pot fi formate. În mod interesant, în mulțimea {2,5,47,89,631} toate elementele sunt numere prime.

Câte mulțimi distincte există care au fost formate cu toate cifrele de la 1 la 9 (fără a se repeta o cifră) și care conțin doar numere prime ?

Problema 119

07 Aprilie 2006

Numărul 512 e interesant deoarece e egal cu suma cifrelor sale ridicată la o putere: 5 + 1 + 2 = 8 si 83 = 512. Un alt exemplu de astfel de numere este 614656 = 284.

O să definim an ca fiind al n-lea termen al acestui șir și vom insista că un număr trebuie să conțină cel puțin 2 cifre pentru a avea o sumă.

Îți este dat că a2 = 512 și a10 = 614656.

Găsește a30.

Problema 120

21 Aprilie 2006

Fie r restul atunci când (a−1)n + (a+1)n e împărțit la a2.

De exemplu, dacă a = 7 și n = 3, atunci r = 42: 63 + 83 = 728 ≡ 42 mod 49. Și dacă valoarea lui n variază, la fel o să varieze și valoarea lui r, dar pentru a = 7 se pare că rmax = 42.

Pentru 3 ≤ a ≤ 1000, află rmax.

Problema 122

02 Iunie 2006

Cea mai naivă metodă de a calcula n15 necesită 14 înmulțiri:

n × n × ... × n = n15

Dar folosind o metodă "binary" poți obține rezultatul după doar 6 înmulțiri:

n × n = n2
n2 × n2 = n4
n4 × n4 = n8
n8 × n4 = n12
n12 × n2 = n14
n14 × n = n15

Totuși, e posibil să obții rezultatul după doar 5 înmulțiri:

n × n = n2
n2 × n = n3
n3 × n3 = n6
n6 × n6 = n12
n12 × n3 = n15

Fie m(k) numărul minim de înmulțiri necesare pentru a calcula nk; de exemplu m(15) = 5.

Pentru 1 ≤ k ≤ 200, găsește m(k).

Problema 123

16 Iunie 2006

Fie pn al n-lea număr prim: 2, 3, 5, 7, 11, ..., și fie r rezultatul împărțirii lui (pn−1)n + (pn+1)n la pn2.

De exemplu, când n = 3, p3 = 5 și 43 + 63 = 280 ≡ 5 mod 25.

Cea mai mică valoare a lui n pentru care restul depășește pentru prima oară 109 e 7037.

Găsește cea mai mică valoare a lui n pentru care restul depășește pentru prima oară 1010.

Problema 124

14 Iulie 2006

Radicalul lui n, rad(n), e produsul factorilor primi distincți ai lui n. De exemplu, 504 = 23 × 32 × 7, deci rad(504) = 2 × 3 × 7 = 42.

Dacă calculăm rad(n) pentru 1n ≤ 10, apoi sortăm rezultatele după rad(n) și cele egale după n, obținem:

Unsorted
 
Sorted

n

rad(n)


n

rad(n)

k
1
1
 
1
1
1
2
2
 
2
2
2
3
3
 
4
2
3
4
2
 
8
2
4
5
5
 
3
3
5
6
6
 
9
3
6
7
7
 
5
5
7
8
2
 
6
6
8
9
3
 
7
7
9
10
10
 
10
10
10

Fie E(k) al k-lea element în coloana sortată care conține valorile lui n; de exemplu, E(4) = 8 și E(6) = 9.

Dacă rad(n) e sortat pentru 1 ≤ n ≤ 100000, găsește E(10000).

Problema 125

04 August 2006

Numărul palindromic 595 e interesant pentru că poate fi scris ca sumă de pătrate a unor numere consecutive: 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112 + 122.

Sunt exact 11 numere palindromice mai mici de 1000 care pot fi scrise ca sumă de pătrate a unor numere consecutive, iar suma acestor numere palindromice e 4164. Notează faptul că 1 = 02 + 12 nu a fost inclus deoarece această problemă consideră doar pătratele unor numere strict pozitive.

Găsește suma tuturor numerelor mai mici de 108 care sunt palindromice și pot fi scrise ca sumă de pătrate a unor numere consecutive.

Problema 126

18 August 2006

Numărul minim de cuburi necesar pentru a acoperi toate fețele vizibile ale unui paralelipiped de dimensiune 3 x 2 x 1 e 22.


Daca apoi adăugam acestui solid un al doilea strat, ar fi nevoie de 46 de cuburi pentru a acoperi toate fețele sale vizibile, un al treilea strat ar avea nevoie de 78 de cuburi și un al patrulea strat ar avea nevoie de 118 cuburi.

Totuși, primul strat al unui paralelipiped de dimensiune 5 x 1 x 1 necesită și el 22 de cuburi; în mod similar primul strat al paralelipipedelor de dimensiune 5 x 3 x 1, 7 x 2 x 1 și 11 x 1 x 1 necesită 46 de cuburi.

Fie C(n) numărul de paralelipipede care conțin n cuburi într-unul din straturile lor. Deci C(22) = 2, C(46) = 4, C(78) = 5 și C(118) = 8.

Se pare că 154 e cea mai mică valoare a lui n pentru care C(n) = 10.

Găsește cea mai mică valoare a lui n pentru care C(n) = 1000.

Problema 127

01 Septembrie 2006

Radicalul lui n, rad(n), e produsul factorilor primi distincți ai lui n. De exemplu, 504 = 23 × 32 × 7, deci rad(504) = 2 × 3 × 7 = 42.

O să zicem că tripletul de numere întregi pozitive (a, b, c) e o soluție abc dacă:

  1. GCD(a, b) = GCD(a, c) = GCD(b, c) = 1
  2. a < b
  3. a + b = c
  4. rad(abc) < c

De exemplu, (5, 27, 32) e o soluție abc, deoarece:

  1. GCD(5, 27) = GCD(5, 32) = GCD(27, 32) = 1
  2. 5 < 27
  3. 5 + 27 = 32
  4. rad(4320) = 30 < 32

Se pare că soluțiile abc sunt destul de rare: sunt doar 31 de soluții abc pentru c < 1000. În acest caz ∑c = 12523.

Găsește ∑c pentru c < 120000.

Problema 128

29 Septembrie 2006

Un hexagon care conține numărul 1 e înconjurat de un inel cu alte 6 hexagoane; începând din partea de sus aceste hexagoane sunt numerotate de la 2 la 7 în sens trigonometric.

Noi inele sunt adăugate în același fel, ele sunt numerotate de la 8 la 19, de la 20 la 37, de la 38 la 61 și așa mai departe. Diagrama de mai jos ilustrează primele trei inele.

Căutand diferența între hexagonul numerotat cu n și fiecare din cei 6 vecini ai săi, o să definim PD(n) ca fiind numărul acelor diferențe care sunt numere prime.

De exemplu, mergând în sensul acelor de ceas în jurul hexagonului 8, diferențele sunt 12, 29, 11, 6, 1 și 13. Deci PD(8) = 3.

În mod similar, diferențele în jurul hexagonului 17 sunt 1, 17, 16, 1, 11 și 10, prin urmare PD(17) = 2.

Se poate demonstra că valoarea maximă a lui PD(n) e 3.

Dacă toate hexagoanele pentru care PD(n) = 3 sunt listate în ordine crescătoare pentru a forma un șir, al 10-lea hexagon ar fi 271.

Află care e al 2000-lea hexagon din acest șir.

Problema 129

27 Octombrie 2006

Un număr care constă doar din cifra 1 se numește repunit. Fie R(k) repunitul de lungime k; de exemplu R(6) = 111111.

Dacă n e un număr întreg pozitiv și CMMDC(n, 10) = 1, se poate arăta că există întotdeauna o valoare k pentru care R(k) e divizibil cu n, și fie A(n) cea mică astfel de valoare k; de exemplu A(7) = 6 și A(41) = 5.

Cea mai mică valoare a lui n pentru care A(n) depășește pentru prima oară 10 e 17.

Găsește cea mai mică valoare a lui n pentru care A(n) depășește pentru prima oară 1 milion.

Problema 130

27 Octombrie 2006

Un număr care constă doar din cifra 1 se numește repunit. Fie R(k) un repunit de lungime k; de exemplu, R(6) = 111111.

Dacă n e un număr întreg pozitiv și CMMDC(n, 10) = 1, se poate arăta că întotdeauna există exact 1 valoare, k, astfel încât R(k) e divizibil cu n; fie A(n) cea mai mică dintre aceste valori ale lui k; de exemplu, A(7) = 6 și A(41) = 5.

Îți este dat că pentru toate numerele prime, p > 5, numărul p − 1 e divizibil cu A(p). De exemplu, când p = 41, A(41) = 5, și 40 e divizibil cu 5.

Totuși, sunt valori compuse rare pentru care asta e de asemenea adevărat; primele cinci exemple sunt 91, 259, 451, 481 și 703.

Găsește suma primelor 25 de valori compuse ale lui n pentru care
CMMDC(n, 10) = 1 și n − 1 e divizibil cu A(n).

Problema 131

10 Noiembrie 2006

Există niște numere prime p, pentru care există un număr natural n, astfel încât expresia n3 + n2p e un cub perfect.

De exemplu, când p = 19, 83 + 82×19 = 123.

Ce e probabil cel mai surprinzător e că, pentru fiecare număr prim cu această proprietate, valoarea lui n e unică, și sunt doar 4 astfel de numere prime mai mici decât 100.

Câte numere prime există mai mici de 1 milion cu această remarcabilă proprietate ?

Problema 132

01 Decembrie 2006

Un număr care constă doar din cifra 1 se numește un repunit. O să definim R(k) ca fiind un repunit de lungime k.

De exemplu, R(10) = 1111111111 = 11×41×271×9091, iar suma acestor factori primi e 9414.

Găsește suma primilor 40 de factori primi ai lui R(109).

Problema 133

01 Decembrie 2006

Un număr care constă doar din cifre de 1 se numește repunit. O să definim R(k) ca fiind un repunit de lungime k; de exemplu R(6) = 111111.

Să considerăm repunit-uri de forma R(10n).

Chiar dacă R(10), R(100) sau R(1000) nu sunt divizibile cu 17, R(10000) e divizibil cu 17. În ciuda acestui fapt, nu există nici o valoare a lui n pentru care R(10n) e divizibil cu 19. De fapt, e remarcabil ca 11, 17, 41 și 73 sunt singurele numere prime mai mici de 100 care pot fi factori primi ai lui R(10n).

Găsește suma tuturor numerelor prime mai mici de 1000 care nu pot fi niciodată factori primi ai lui R(10n).

Problema 134

15 Decembrie 2006

Consideră numerele prime consecutive p1 = 19 și p2 = 23. Se poate verifica că 1219 e cel mai mic număr astfel încât ultimele cifre sunt formate din p1 iar numărul e divizibil cu p2.

De fapt, cu excepția lui p1 = 3 și p2 = 5, pentru orice pereche de numere prime consecutive, p2 > p1, există o valoare a lui n pentru care ultimele cifre sunt formate din p1 și n e divizibil cu p2. Fie S cea mai mică din aceste valori ale lui n.

Găsește ∑ S pentru fiecare pereche de numere prime consecutive unde 5 ≤ p1 ≤ 1000000.

Problema 135

29 Decembrie 2006

Numerele întregi pozitive x, y și z sunt termeni consecutivi într-o progresie aritmetică; cea mai mică valoare a numărului întreg pozitiv n pentru care ecuația x2y2z2 = n are exact două soluții e n = 27:

342 − 272 − 202 = 122 − 92 − 62 = 27

Se pare că n = 1155 e cea mai mică valoare pentru care ecuația are exact zece soluții.

Pentru câte valori ale lui n, mai mici de 1 milion, ecuația are exact zece soluții distincte ?

Problema 136

29 Decembrie 2006

Numerele întregi pozitive, x, y și z, sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Dacă n e un număr întreg pozitiv, ecuația x2y2z2 = n are exact 1 soluție când n = 20:

132 − 102 − 72 = 20

De fapt, sunt 25 de valori ale lui n mai mici de 100 pentru care ecuația are soluție unică.

Pentru câte valori ale lui n mai mici de 50 de milioane ecuația are soluție unică ?

Problema 137

12 Ianuarie 2007

Consideră șirul polinomial infinit AF(x) = xF1 + x2F2 + x3F3 + ..., unde Fk e al k-lea termen din șirul lui Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... ; adică Fk = Fk−1 + Fk−2, F1 = 1 și F2 = 1.

Pentru această problemă, o să luăm în considerare doar acele valori ale lui x pentru care AF(x) e un număr întreg pozitiv.

În mod surprinzător AF(1/2)  =  (1/2).1 + (1/2)2.1 + (1/2)3.2 + (1/2)4.3 + (1/2)5.5 + ...
   =  1/2 + 1/4 + 2/8 + 3/16 + 5/32 + ...
   =  2

Valorile corespunzătoare ale lui x pentru prime 5 numere naturale sunt afișate mai jos.

xAF(x)
√2−11
1/22
(√13−2)/33
(√89−5)/84
(√34−3)/55

O să zicem că AF(x) e o valoare de aur dacă x e un număr rațional, pentru că aceste valori devin tot mai rare; de exemplu, a 10-a valoare de aur e 74049690.

Găsește a 15-a valoare de aur.

Problema 138

20 Ianuarie 2007

Consideră triunghiul isoscel care are baza b = 16 și celelalte două laturi L = 17.

Folosind teorema lui Pitagora, se poate vedea că înălțimea triunghiului, h = √(172 − 82) = 15, adică e doar cu 1 mai puțin decât baza.

Dacă b = 272 și L = 305, atunci h = 273, adică e cu 1 mai mult decât lungimea bazei; acesta e al doilea cel mai mic triunghi isoscel cu proprietatea h = b ± 1.

Află ∑ L pentru cele 12 cele mai mici triunghiuri isoscele unde h = b ± 1 și unde b, L sunt numere întregi pozitive.

Problema 139

27 Ianuarie 2007

Fie (a, b, c) cele 3 laturi ale unui triunghi dreptunghic unde lungimile laturilor sunt numere întregi. E posibil să așezi 4 astfel de triunghiuri pentru a forma un pătrat de lungime c.

De exemplu, triunghiuri cu laturile (3, 4, 5) pot fi așezate pentru a forma un pătrat de dimensiune 5 pe 5 cu o gaură de 1 pe 1 în mijloc și se poate vedea că pătratul de dimensiune 5 pe 5 poate fi umplut cu 25 de pătrate de dimensiune 1 pe 1.

Totuși, dacă s-ar folosi triunghiuri de dimensiune (5, 12, 13), atunci gaura din mijloc ar măsura 7 pe 7 și astfel de pătrățele nu ar putea fi folosite pentru a umple pătratul de dimensiune 13 pe 13.

Dat fiind faptul că perimetrul triunghiului dreptunghic e mai mic de o sută de milioane, câte triunghiuri Pitagoreene ar permite astfel de umpleri să aibă loc?

Problema 140

03 Februarie 2007

Consideră șirul polinomial infinit AG(x) = xG1 + x2G2 + x3G3 + ..., unde Gk e al k-lea termen al relației de recurență de gradul 2 Gk = Gk−1 + Gk−2, G1 = 1 și G2 = 4; adică, 1, 4, 5, 9, 14, 23, ... .

Pentru această problemă, o să luăm în considerare doar acele valori ale lui x pentru care AG(x) e un număr întreg pozitiv.

Valorile corespunzătoare ale lui x pentru primele 5 numere naturale sunt afișate mai jos.

xAG(x)
(√5−1)/41
2/52
(√22−2)/63
(√137−5)/144
1/25

O să zicem că AG(x) e o valoare de aur dacă x e un număr rațional, pentru că aceste valori devin tot mai rare; de exemplu, a 20-a valoare de aur e 211345365.

Găsește suma primelor 30 valori de aur.

Problema 141

17 Februarie 2007

Un număr natural n e împărțit la d pentru a obține câtul q și restul r. În plus de asta, d, q și r sunt termeni întregi pozitivi într-o progresie geometrică, dar nu neapărat în această ordine.

De exemplu, 58 împărțit la 6 are câtul 9 ți restul 4. Se poate vedea că 4, 6 și 9 sunt termeni consecutivi într-o progresie geometrică (unde rația e 3/2).
O să zicem că astfel de numere n sunt progresive.

Unele numere progresive, cum ar fi 9 și 10404 = 1022, sunt întâmplător și pătrate perfecte.
Suma tuturor pătratelor perfecte progresive mai mici de 100,000 e egală cu 124657.

Află suma tuturor pătratelor perfecte progresive mai mici de 1 trilion (1012).

Problema 142

24 Februarie 2007

Găsește cel mai mic număr x + y + z unde x > y > z > 0 sunt numere întregi astfel încât x + y, x − y, x + z, x − z, y + z, y − z sunt pătrate perfecte.

Problema 143

02 Martie 2007

Fie ABC un triunghi a cărui unghiuri au fiecare mai puțin de 120 de grade. Fie X orice punct în interiorul triunghiului și fie XA = p, XC = q și XB = r.

Fermat l-a provocat pe Torricelli să găsească poziția lui X astfel încât p + q + r are valoare minimă.

Torricelli a reușit să demonstreze că, dacă triunghiurile echilaterale AOB, BNC și AMC sunt construite pe fiecare latură a triunghiului ABC, atunci cercurile circumscrise triunghiurilor AOB, BNC și AMC se vor intersecta într-un singur punct, T, în interiorul triunghiului. Mai mult decât atât, el a demonstrat că T, numit punctul Fermat/Torricelli, minimizează p + q + r. Și mai remarcabil de atât, se poate arăta că, atunci când suma e minimizată, AN = BM = CO = p + q + r și dreptele AN, BM și CO se intersectează de asemenea în T.

Dacă suma e minimizată și a, b, c, p, q și r sunt toate numere întregi pozitive, o să numim triunghiul ABC un triunghi Torricelli. De exemplu, a = 399, b = 455, c = 511 e un exemplu de triunghi Torricelli, unde p + q + r = 784.

Găsește suma tuturor valorilor distincte ale numărului p + q + r ≤ 120000 pentru triunghiuri Torricelli.

Problema 145

16 Martie 2007

Unele numere întregi n au proprietatea că suma [ n + invers(n) ] constă doar din cifre impare. De exemplu, 36 + 63 = 99 și 409 + 904 = 1313. O să numim astfel de numere reversibile; deci 36, 63, 409 și 904 sunt reversibile. Nu sunt permise zerouri nici la începutul lui n și nici la începutul lui invers(n).

Sunt 120 de numere reversibile mai mici de 1000.

Câte numere reversibile mai mici de 1 miliard (109) exista ?

Problema 146

24 Martie 2007

Cel mai mic număr întreg pozitiv n pentru care numerele n2+1, n2+3, n2+7, n2+9, n2+13 și n2+27 sunt numere prime consecutive e 10. Suma tuturor numerelor n de acest fel mai mici de 1 milion e 1242490.

Care e suma tuturor numerelor n de acest fel mai mici de 150 milioane ?

Problema 148

07 Aprilie 2007

Se poate verifica cu ușurință că nici un element din primele 7 rânduri ale triunghiului lui Pascal nu e divizibil cu 7:

             1
           1    1
         1    2    1
       1    3    3    1
     1    4    6    4    1
   1    5   10   10    5    1
1    6   15   20   15    6    1

Totuși, dacă verificăm primele 100 de rânduri, o să observăm că doar 2361 din cele 5050 de elemente nu sunt divizibile cu 7.

Găsește câte elemente nu sunt divizibile cu 7 în primele 1 miliard (109) de rânduri ale triunghiului lui Pascal.

Problema 149

13 Aprilie 2007

Privind la tabelul de mai jos, se poate verifica cu ușurință ca suma maximă posibilă a numerelor adiacente în orice direcție (pe orizontală, verticală, diagonală sau anti-diagonală) e 16 (= 8 + 7 + 1).

−2532
9−651
3273
−18−4  8

Să repetăm această căutare, dar pe o scară mult mai largă:

Pentru început, generează 4 milioane de numere pseudo-aleatorii folosind o anumită variantă a unui generator numit "Generator Fibonacci Întârziat":

Pentru 1 ≤ k ≤ 55, sk = [100003 − 200003k + 300007k3] (modulo 1000000) − 500000.
Pentru 56 ≤ k ≤ 4000000, sk = [sk−24 + sk−55 + 1000000] (modulo 1000000) − 500000.

Prin urmare, s10 = −393027 și s100 = 86613.

Termenii lui s sunt apoi aranjați într-un tabel de dimensiune 2000×2000, folosind primele 2000 de numere pentru a umple primul rând (secvențial), următoarele 2000 pentru a umple al doilea rând și așa mai departe.

Pentru final, găsește cea mai mare sumă de (oricâte) numere adiacente în orice direcție (pe orizontală, verticală, diagonală sau anti-diagonală).

Problema 150

13 Aprilie 2007

Într-o matrice triunghiulară cu numere întregi pozitive și negative vrem să găsim un subtriunghi astfel încât suma numerelor care le conține e minimă.

În exemplul de mai jos, se poate verifica cu ușurință că triunghiul marcat satisface această condiție, având suma −42.

Vrem să facem o astfel de matrice triunghiulară cu 1000 de rânduri, așa că generăm 500500 de numere pseudo-aleatorii sk în intervalul ±219, folosind un tip de generator de numere aleatorii (cunoscut ca Generator Congruent Liniar) în felul următor:

t := 0
de la k = 1 pana la k = 500500:
    t := (615949*t + 797807) modulo 220
    sk := t−219

Deci: s1 = 273519, s2 = −153582, s3 = 450905 etc

Prin urmare, matricea triunghiulara este formata in urmatorul fel:

s1
s2  s3
s4  s5  s6 
s7  s8  s9  s10
...

Un subtriunghi poate începe de la oricare element al matricii, mergțând în jos câte rânduri dorim (incluzând cele 2 elemente din rândul de sub acel element, cele 3 elemente din rândul de sub acele 2 elemente și așa mai departe).
"Suma unui subtriunghi" e definită ca suma tuturor elementelor care le conține.
Găsește suma minimă a unui subtriunghi din matricea generată mai sus.

Problema 152

27 Aprilie 2007

Sunt mai multe feluri în care numărul 1/2 poate fi scris ca sumă a inverselor unor pătrate distincte.

De exemplu, numerele {2,3,4,5,7,12,15,20,28,35} pot fi folosite:

De fapt, folosind doar numere între 2 și 45 inclusiv, sunt exact 3 feluri de a face asta, celelalte două fiind: {2,3,4,6,7,9,10,20,28,35,36,45} și {2,3,4,6,7,9,12,15,28,30,35,36,45}.

În câte feluri poate 1/2 fi scris ca sumă a inverselor unor pătrate distincte folosind numere între 2 și 80 inclusiv ?

Problema 153

05 Mai 2007

După cum știm cu toții, ecuația x2=-1 nu are soluții reale.
Totuși, dacă introducem numărul imaginar i, această ecuație are două soluții: x=i și x=-i.
Dacă dezvoltăm această idee, ecuația (x-3)2=-4 are două soluții complexe: x=3+2i și x=3-2i.
x=3+2i e conjugata complexă a lui x=3-2i și vice versa.
Numerele de forma a+bi se numesc numere complexe.
În general, a+bi e conjugata complexă a lui abi și vice versa.

Un număr întreg de tip Gaussian e un număr complex a+bi unde a și b sunt numere întregi.
Numerele întregi obișnuite sunt de asemenea numere întregi de tip Gaussian (unde b=0).
Pentru a le deosebi de numerele întregi de tip Gaussian cu b ≠ 0, astfel de numere se numesc "numere întregi raționale."
Un număr întreg de tip Gaussian e un divizor al unui număr întreg rațional n dacă rezultatul e de asemenea un număr întreg de tip Gaussian.
De exemplu, dacă împărțim 5 la 1+2i putem simplifica în următorul fel:
Înmulțim numărătorul și numitorul cu conjugata complexă a lui of 1+2i: 1−2i.
Rezultatul e .
Deci 1+2i e un divizor al lui 5.
Ține cont că 1+i nu e un divizor al lui 5 pentru că .
De asemenea, ține minte că, dacă numărul întreg de tip Gaussian (a+bi) e un divizor al numărului întreg rațional n, atunci și conjugata lui complexă (abi) e un divizor al lui n.

De fapt, 5 are 6 divizori a căror parte reală e pozitivă: {1, 1 + 2i, 1 − 2i, 2 + i, 2 − i, 5}.
Următorul tabel conține toți divizorii primelor 5 numere întregi raționale mai mari decât 0:

n Divizori întregi de tip Gaussian
a căror parte reală e pozitivă
Suma s(n) a
acestor divizori
111
21, 1+i, 1-i, 25
31, 34
41, 1+i, 1-i, 2, 2+2i, 2-2i,413
51, 1+2i, 1-2i, 2+i, 2-i, 512

Atunci, pentru divizori care au partea reală pozitivă, avem: .

Pentru 1 ≤ n ≤ 105, ∑ s(n)=17924657155.

Cât e ∑ s(n) pentru 1 ≤ n ≤ 108?

Problema 154

12 Mai 2007

O piramidă triunghiulară e construită folosind bile astfel încât fiecare bilă se sprijină pe 3 bile de pe nivelul imediat inferior.

Apoi calculăm numărul de căi din vârf până la fiecare poziție:

O cale începe din vârf și merge în jos către oricare din cele 3 bile inferioare poziției curente.

Prin urmare, numărul de căi pentru a ajunge la o anumită poziție e suma numerelor de deasupra sa (în funcție de poziție, sunt maxim 3 numere deasupra sa).

Rezultatul e piramida lui Pascal iar numerele din fiecare nivel n sunt coeficienții dezvoltării trinomiale (x + y + z)n.

Câți coeficienți din dezvoltarea (x + y + z)200000 sunt multipli ai lui 1012?

Problema 157

01 Iunie 2007

Consideră ecuația diofantină 1/a+1/b= p/10n unde a, b, p, n sunt numere întregi pozitive și ab.
Pentru n=1, această ecuație are 20 de soluții listate mai jos:

1/1+1/1=20/10 1/1+1/2=15/10 1/1+1/5=12/10 1/1+1/10=11/10 1/2+1/2=10/10
1/2+1/5=7/10 1/2+1/10=6/10 1/3+1/6=5/10 1/3+1/15=4/10 1/4+1/4=5/10
1/4+1/20=3/10 1/5+1/5=4/10 1/5+1/10=3/10 1/6+1/30=2/10 1/10+1/10=2/10
1/11+1/110=1/10 1/12+1/60=1/10 1/14+1/35=1/10 1/15+1/30=1/10 1/20+1/20=1/10

Câte soluții are această ecuație pentru 1 ≤ n ≤ 9?

Problema 158

15 Iunie 2007

Luând trei litere diferite din cele 26 de litere ale alfabetului englez, pot fi formate șiruri de caractere de lungime 3.
De exemplu, 'abc', 'hat' și 'zyx'.
Când studiem aceste trei exemple, observăm că pentru 'abc' două caractere vin lexicografic dupa vecinul lor din stânga.
În șirul 'hat' există exact 1 caracter care vine lexicografic dupa vecinul său din stânga. În șirul 'zyx' sunt zero caractere care îndeplinesc această condiție.
În total sunt 10400 de șiruri de caractere de lungime 3 unde exact 1 caracter vine lexicografic după vecinul său din stânga.

Acum considerăm șiruri care conțin n ≤ 26 caractere diferite ale alfabetului englez.
Pentru fiecare n, p(n) e numărul de șiruri de lungime n pentru care exact 1 caracter vine lexicografic după vecinul său din stânga.

Care e valoarea maximă a lui p(n)?

Problema 160

07 Septembrie 2007

Pentru orice N, fie f(N) ultimele 5 cifre înaintea zerourilor de la sfârșitul lui N!.
De exemplu,

9! = 362880 deci f(9)=36288
10! = 3628800 deci f(10)=36288
20! = 2432902008176640000 deci f(20)=17664

Găsește f(1,000,000,000,000)

Problema 162

05 Octombrie 2007

În sistemul hexadecimal, numerele sunt reprezentate folosind 16 cifre:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Numărul hexadecimal AF, când e scris în baza 10, e egal cu 10x16+15=175.

În numerele hexadecimale 10A, 1A0, A10 si A01, cifrele 0,1 și A sunt toate prezente.
La fel cum scriem numerele în baza 10 fără zerouri în față, așa se face și în cazul numerelor hexadecimale.

Câte numere hexadecimale de cel mult 16 cifre conțin toate cifrele 0, 1 și A cel puțin o dată ?
Introdu răspunsul ca număr hexadecimal.

(A,B,C,D,E si F cu litere mari, fără cod în față sau în spate care marchează numărul ca fiind hexadecimal și fără zerouri în față, de exemplu 1A3F, nu 1a3f și nu 0x1a3f și nu $1A3F și nu #1A3F și nu 0000001A3F)

Problema 163

13 Octombrie 2007

Fie un triunghi echilateral în care linii drepte sunt desenate de la fiecare colț până la mijlocul laturii opuse, ca și în triunghiul de dimensiune 1 din schița de mai jos.

16 triunghiuri de forme, dimensiuni, orientări sau locații diferite pot fi acum observate în acel triunghi. Folosind triunghiuri de dimensiune 1 ca elemente de construcție, triunghiuri mai mari pot fi formate, cum ar fi triunghiul de dimensiune 2 din schița de mai sus. 104 triunghiuri de dimensiuni, forme sau orientări diferite pot fi observate în acel triunghi de dimensiune 2.

Se poate observa că triunghiul de dimensiune 2 e format din 4 triunghiuri de dimensiune 1. Un triunghi de dimensiune 3 ar fi format din 9 triunghiuri de dimensiune 1 și un triunghi de dimensiune n ar fi, prin urmare, format din n2 triunghiuri de dimensiune 1.

Dacă notăm T(n) ca fiind numărul de triunghiuri din care un triunghi de dimensiune n e format, atunci

T(1) = 16
T(2) = 104

Găsește T(36).

Problema 164

20 Octombrie 2007

Câte numere n de 20 de cifre (fara zerouri în față) există astfel încât nici un grup de 3 cifre consecutive ale lui n nu are o suma mai mare de 9 ?

Problema 166

03 Noiembrie 2007

O matrice de 4x4 e umplută cu cifre d, 0 ≤ d ≤ 9.

Se poate vedea că în matricea

6 3 3 0
5 0 4 3
0 7 1 4
1 2 4 5

suma pe fiecare rând și coloană e 12. În plus de asta, suma pe fiecare diagonală e tot 12.

În câte feluri poți umple o matrice de 4x4 cu cifre d, 0 ≤ d ≤ 9 astfel încât fiecare rând, coloană și diagonală au aceeasi sumă ?

Problema 167

09 Noiembrie 2007

Pentru două numere întregi pozitive a și b, șirul Ulam U(a,b) e definit ca U(a,b)1 = a, U(a,b)2 = b și, pentru k > 2, U(a,b)k e cel mai mic număr întreg mai mare decât U(a,b)(k-1) care poate fi scris în exact 1 fel ca sumă a doi termeni precedenți distincți ai lui U(a,b).

De exemplu, șirul U(1,2) începe cu
1, 2, 3 = 1 + 2, 4 = 1 + 3, 6 = 2 + 4, 8 = 2 + 6, 11 = 3 + 8;
5 nu aparține șirului pentru că 5 = 1 + 4 = 2 + 3 are două reprezentații ca sumă a doi termeni precedenți; la fel și 7 = 1 + 6 = 3 + 4.

Află ∑U(2,2n+1)k pentru 2 ≤ n ≤10, unde k = 1011.

Problema 168

16 Noiembrie 2007

Consideră numărul 142857. Putem face o rotație-de-dreapta a acestui număr prin mutarea ultimei cifre (7) în fața numărului, rezultând în 714285.
Se poate observa că 714285=5×142857.
Asta demonstreaza o proprietate neobișnuită a lui 142857: e un divizor al rotației-de-dreapta a sale.

Găsește ultimele 5 cifre ale sumei tuturor numerelor întregi n, 10 < n < 10100 care au această proprietate.

Problema 169

23 Noiembrie 2007

Fie f(0)=1 și f(n) numărul de moduri în care n poate fi exprimat ca sumă a unor puteri întregi ale lui 2, unde nici o putere nu e folosită mai mult de două ori.

De exemplu, f(10)=5 pentru că sunt 5 moduri de a scrie 10:

1 + 1 + 8
1 + 1 + 4 + 4
1 + 1 + 2 + 2 + 4
2 + 4 + 4
2 + 8

Care e valoarea lui f(1025) ?

Problema 171

08 Decembrie 2007

Pentru un număr întreg pozitiv n, fie f(n) suma pătratelor cifrelor (în baza 10) lui n, de exemplu:

f(3) = 32 = 9,
f(25) = 22 + 52 = 4 + 25 = 29,
f(442) = 42 + 42 + 22 = 16 + 16 + 4 = 36

Găsește ultimele 9 cifre ale sumei tuturor numerelor n, 0 < n < 1020 astfel încât f(n) e un pătrat perfect.

Problema 172

15 Decembrie 2007

Câte numere n de 18 cifre (fără zerouri în față) există astfel încât nici o cifră nu apare de mai mult de 3 ori în n ?

Problema 176

04 Ianuarie 2008

Cele 4 triunghiuri dreptunghice cu laturile (9,12,15), (12,16,20), (5,12,13) și (12,35,37) au una din laturile mai scurte (cateta) egală cu 12. Se poate demonstra că nu există nici un alt triunghi dreptunghic cu lungimile laturilor numere întregi care să aibă o catetă egală cu 12.

Găsește cel mai mic număr întreg care reprezintă lungimea catetei a exact 47547 de triunghiuri dreptunghice ale căror laturi sunt numere întregi.

Problema 178

19 Ianuarie 2008
Consideră numărul 45656.
Se poate vedea că în fiecare pereche de cifre consecutive diferența este de 1.
Un număr pentru care fiecare pereche de cifre consecutive are o diferență de 1 se numește un număr "treaptă".
Un număr pandigital conține fiecare cifră de la 0 la 9 cel puțin o dată.
Câte numere "treaptă" pandigitale mai mici de 1040 există ?

Problema 179

26 Ianuarie 2008

Găsește câte numere întregi 1 < n < 107 există, astfel încât n și n + 1 au același număr de divizori pozitivi. De exemplu, 14 are divizorii pozitivi 1, 2, 7, 14 în timp ce 15 are 1, 3, 5, 15.

Problema 181

09 Februarie 2008

Având 3 obiecte negre B și un obiect alb W, acestea pot fi grupate în 7 feluri diferite în următorul fel:

(BBBW)(B,BBW)(B,B,BW)(B,B,B,W) (B,BB,W)(BBB,W)(BB,BW)

În câte feluri pot fi, deci, grupate 60 de obiecte negre B și 40 de obiecte albe W ?

Problema 184

29 Februarie 2008

Consideră mulțimea Ir de puncte (x,y) cu coordonate numere întregi în interiorul cercului de rază r și centrul în origine, adică x2 + y2 < r2.

Pentru o rază de lungime 2, I2 conține cele 9 puncte (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), (-1,1), (-1,0), (-1,-1), (0,-1) și (1,-1). Sunt opt triunghiuri care au toate trei colțurile în I2 și care conțin originea în interiorul lor. Două din aceste triunghiuri sunt ilustrate mai jos, celelalte sunt obținute prin rotația acestor două.

Pentru o rază de lungime 3, sunt 360 de triunghiuri care conțin originea în interiorul lor și au toate colțurile în multimea I3; pentru I5 numărul acestor triunghiuri e 10600.

Câte triunghiuri există care conțin originea în interiorul lor și au toate colțurile în mulțimea I105?

Problema 187

22 Martie 2008

Un număr compozit e un număr care conține cel puțin doi factori primi. De exemplu, 15 = 3 × 5; 9 = 3 × 3; 12 = 2 × 2 × 3.

Sunt zece numere compozite mai mici de 30 care conțin exact doi factori primi, nu neapărat distincți: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26.

Câte numere compozite, n < 108, au exact doi factori primi, nu neapărat distincți ?

Problema 188

04 Aprilie 2008

Hiper-exponențializarea sau tetrarea unui număr cu un număr întreg pozitiv, notată cu a↑↑b sau ba, e definită recursiv în felul următor:

a↑↑1 = a,
a↑↑(k+1) = a(a↑↑k).

Prin urmare avem, de exemplu, 3↑↑2 = 33 = 27, deci 3↑↑3 = 327 = 7625597484987 și 3↑↑4 e aproximativ 103.6383346400240996*10^12.

Găsește ultimele 8 cifre ale numărului 1777↑↑1855.

Problema 189

11 Aprilie 2008

Consideră următoarea configurație de 64 de triunghiuri:

Dorim să colorăm interiorul fiecărui triunghi cu una din următoarele 3 culori: roșu, verde sau albastru, astfel încât nu vor exista 2 triunghiuri vecine cu aceeași culoare. O astfel de colorare va fi una validă. În acest caz, 2 triunghiuri sunt vecine daca au o latură comuna.
Notă: dacă au doar un colț comun, atunci nu sunt vecine.

De exemplu, aici e o colorare validă a triunghiurilor de mai sus:

O colorare C' care e obținută dintr-o colorare C prin rotație sau prin reflecție e considerată distinctă de C dacă cele două nu sunt identice.

Câte colorări valide și distincte există pentru configurația de mai sus ?

Problema 193

10 Mai 2008

Un număr întreg pozitiv n se numește liber-de-pătrate dacă nici un pătrat al unui număr prim nu divide n, prin urmare 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 sunt libere-de-patrate, dar nu și 4, 8, 9, 12.

Câte numere libere-de-pătrate există mai mici de 250?

Problema 194

17 Mai 2008

Consideră grafuri construite folosind unitățile A: și B: , unde unitățile sunt lipite de-a lungul marginilor verticale ca în graful .

O configurație de tip (a,b,c) e un graf construit din a unități de tip A și b unități de tip B, unde nodurile grafului sunt colorate folosind până la c culori astfel încât două noduri adiacente nu au aceeași culoare.
Graful construit mai sus e un exemplu de configurație de tip (2,2,6), de fapt de tip (2,2,c) pentru toate valorile lui c ≥ 4.

Fie N(a,b,c) numărul de configurații de tip (a,b,c).
De exemplu, N(1,0,3) = 24, N(0,2,4) = 92928 și N(2,2,3) = 20736.

Găsește ultimele 8 cifre ale numărului N(25,75,1984).

Problema 195

23 Mai 2008

Să numim un triunghi, având laturile numere întregi și exact 1 unghi de 60 de grade, un triunghi de 60 de grade.
Fie r raza cercului înscris într-un astfel de triunghi de 60 de grade.

Sunt 1234 de astfel de triunghiuri de 60 de grade pentru care r ≤ 100.
Fie T(n) numărul de triunghiuri de 60 de grade pentru care rn, deci
T(100) = 1234,  T(1000) = 22767, și T(10000) = 359912.

Află T(1053779).

Problema 197

06 Iunie 2008

Este dată funcția f(x) = ⌊230.403243784-x2⌋ × 10-9 ( ⌊ ⌋ e funcția de rotunjire în jos),
șirul un e definit ca u0 = -1 și un+1 = f(un).

Află un + un+1 pentru n = 1012.
Introdu răspunsul cu 9 cifre fracționare.

Problema 199

21 Iunie 2008

Trei cercuri cu raze egale sunt introduse în interiorul unui cerc mai mare astfel încât cele două cercuri din fiecare pereche sunt tangente și cercurile din interior nu se suprapun. Sunt 4 "goluri" care trebuie umplute iterativ cu mai multe cercuri tangente.

La fiecare iterație, un cerc de dimensiune maximă e introdus în fiecare gol, asta creează noi goluri pentru următoarea iterație. După 3 iterații (ilustrate), sunt 108 goluri iar fracția ariei care nu e acoperită de cercuri e 0.06790342, rotunjită la 8 cifre fracționare.

Care e fracția ariei neacoperită de cercuri după 10 iterații ?
Introdu răspunsul rotunjit la 8 cifre fracționare folosind formatul x.xxxxxxxx .

Problema 201

05 Iulie 2008

Pentru orice mulțime de numere A, fie sum(A) suma elementelor din A.
Consideră mulțimea B = {1,3,6,8,10,11}.
Sunt 20 de submulțimi a lui B care conțin 3 elemente, sumele acestora e:

sum({1,3,6}) = 10,
sum({1,3,8}) = 12,
sum({1,3,10}) = 14,
sum({1,3,11}) = 15,
sum({1,6,8}) = 15,
sum({1,6,10}) = 17,
sum({1,6,11}) = 18,
sum({1,8,10}) = 19,
sum({1,8,11}) = 20,
sum({1,10,11}) = 22,
sum({3,6,8}) = 17,
sum({3,6,10}) = 19,
sum({3,6,11}) = 20,
sum({3,8,10}) = 21,
sum({3,8,11}) = 22,
sum({3,10,11}) = 24,
sum({6,8,10}) = 24,
sum({6,8,11}) = 25,
sum({6,10,11}) = 27,
sum({8,10,11}) = 29.

Unele din aceste sume apar mai mult de 1 dată, altele sunt unice.
Pentru o mulțime A, fie U(A,k) mulțimea sumelor unice a submulțimilor lui A care au k elemente, în exemplul nostru obținem U(B,3) = {10,12,14,18,21,25,27,29} și sum(U(B,3)) = 156.

Acum consideră mulțimea S de 100 de elemente S = {12, 22, ... , 1002}.
S are 100891344545564193334812497256 submulțimi a câte 50 de elemente.

Determină suma tuturor numerelor întregi unde fiecare număr reprezintă suma a uneia din submulțimile de 50 de elemente a lui S, mai exact află sum(U(S,50)).

Problema 202

05 Iulie 2008

Trei oglinzi sunt aranjate pentru a forma un triunghi echilateral, având fața reflectivă spre interior. Există un gol infinit de mic la fiecare colț al triunghiului prin care poate să treacă o raza laser.

Colțurile sunt numite A, B și C. Sunt 2 moduri prin care o rază laser poate să intre prin colțul C, să se reflecte în 11 suprafețe și apoi să iasă prin același colț: unul din moduri e ilustrat mai jos, celălalt e opusul.

Sunt 80840 de feluri în care o rază laser poate să intre prin colțul C, să se reflecte în 1,000,001 suprafețe și apoi să iasă prin același colt.

În câte feluri poate o rază laser să intre prin colțul C, să se reflecte în 12,017,639,147 de suprafețe și apoi să iasă prin același colț ?

Problema 204

06 Septembrie 2008

Un număr Hamming e un număr pozitiv care nu are nici un factor prim mai mare decât 5.
Deci primele numere Hamming sunt 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15.
Sunt 1105 numere Hamming care nu depășesc 108.

O să numim un număr pozitiv a fi un număr Hamming generalizat de tip n dacă nu are nici un factor prim mai mare decât n.
Prin urmare, numerele Hamming sunt numere Hamming generalizate de tip 5.

Câte numere Hamming generalizate de tip 100 există care nu depășesc 109 ?

Problema 205

06 Septembrie 2008

Peter are 9 zaruri în formă de piramidă cu câte 4 fețe fiecare. Fețele sunt numerotate 1, 2, 3, 4.
Colin are 6 zaruri în formă de cub cu câte 6 fețe fiecare. Fețele sunt numerotate 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Peter și Colin își aruncă zarurile și compară totalul: cel mai mare total câștigă. E remiză dacă totalurile sunt la fel.

Care e probabilitatea ca zarurile piramidale ale lui Peter vor învinge zarurile cubice ale lui Colin ? Introdu răspunsul rotunjit la 7 zecimale, de forma 0.abcdefg

Problema 206

06 Septembrie 2008

Găsește numărul întreg pozitiv al cărui pătrat e de forma 1_2_3_4_5_6_7_8_9_0,
unde fiecare “_” reprezintă 1 cifră.

Problema 210

26 Septembrie 2008
Consideră mulțimea S(r) de puncte (x,y) cu coordonate numere întregi care satisfac |x| + |y| ≤ r.
Fie O punctul (0,0) și C punctul (r/4,r/4).
Fie N(r) numărul de puncte B în S(r) astfel încât triunghiul OBC are un unghi obtuz, adică cel mai mare unghi al său α satisface 90°<α<180°.
De exemplu, N(4)=24 și N(8)=100.

Află N(1,000,000,000).

Problema 211

04 Octombrie 2008

Pentru un număr pozitiv n, fie σ2(n) suma pătratelor divizorilor săi. De exemplu,

σ2(10) = 1 + 4 + 25 + 100 = 130.

Găsește suma tuturor numerelor n, 0 < n < 64,000,000 astfel încât σ2(n) e un pătrat perfect.

Problema 213

18 Octombrie 2008

O grilă de dimensiune 30×30 conține 900 de muște, inițial câte o muscă în fiecare pătrat.
Când sună clopoțelul, fiecare muscă sare pe un pătrat adiacent ales aleatoriu (de obicei 4 posibilități, cu excepția muștelor de pe margine sau de la colțuri).

Care e numărul așteptat de pătrate neocupate după 50 de bătai ale clopoțelului ? Introdu răspunsul rotunjit la 6 cifre zecimale.

Problema 215

31 Octombrie 2008

Consideră problema construirii unui zid din cărămizi cu dimensiunile 2×1 și 3×1 (dimensiune exprimată orizontal×vertical) astfel încât, pentru rezistență sporită, spațiul dintre cărămizile adiacente orizontal nu se aliniază niciodată, adică nu formează niciodata "crăpătură continuă".

De exemplu, următorul zid de dimensiune 9×3 nu e acceptabil datorită crăpăturii continue accentuată cu culoarea roșie:

Sunt opt feluri de a construi un zid fără crăpături de dimensiune 9×3, notate cu W(9,3) = 8.

Află W(32,10).

Problema 216

07 Noiembrie 2008

Consideră numerele t(n) de forma t(n) = 2n2-1 unde n > 1.
Primele astfel de numere sunt 7, 17, 31, 49, 71, 97, 127 și 161.
Se pare că doar 49 = 7*7 și 161 = 7*23 nu sunt numere prime.
Pentru n ≤ 10000 sunt 2202 numere t(n) care sunt prime.

Câte numere t(n) sunt prime pentru n ≤ 50,000,000 ?

Problema 218

22 Noiembrie 2008

Consideră triunghiul dreptunghic cu laturile a=7, b=24 și c=25. Aria acestui triunghi e 84, care e divizibil cu numerele perfecte 6 și 28.
Mai mult de atât, e un triunghi dreptunghic primitiv pentru că CMMDC(a,b)=1 și CMMDC(b,c)=1.
De asemenea, c e un pătrat perfect.

O să numim un triunghi dreptunghic ca fiind perfect dacă
-e un triunghi dreptunghic primitiv
-ipotenuza sa e un pătrat perfect

O să numim un triunghi dreptunghic ca fiind super-perfect dacă
-e un triunghi dreptunghic perfect și
-aria sa e un multiplu al numerelor perfecte 6 și 28.

Câte triunghiuri dreptunghice perfecte având c≤1016 există dar care nu sunt super-perfecte ?

Problema 221

13 Decembrie 2008

O să numim un număr întreg pozitiv A un "număr întreg Alexandrian", dacă există numerele întregi p, q, r astfel încât:

A = p · q · r    si  
1
A
=
1
p
+
1
q
+
1
r

De exemplu, 630 e un număr întreg Alexandrian (p = 5, q = −7, r = −18). De fapt, 630 e al 6lea număr întreg Alexandrian, primele 6 numere întregi Alexandriene fiind: 6, 42, 120, 156, 420 și 630.

Găsește al 150000lea număr întreg Alexandrian.

Problema 222

19 Decembrie 2008

Care e lungimea celei mai scurte țevi de rază 50mm, astfel încât 21 de mingi de raze 30mm, 31mm, ..., 50mm încap în țeava ?

Introdu răspunsul exprimat în micrometri (10-6 m) rotunjit până la cel mai apropiat număr intreg.

Problema 223

26 Decembrie 2008

Să numim un triunghi având lungimile laturilor numere naturale abia ascuțit dacă laturile sale abc satisfac
a2 + b2 = c2 + 1.

Câte triunghiuri abia ascuțite există cu perimetrul ≤ 25,000,000?

Problema 224

26 Decembrie 2008

Să numim un triunghi având lungimile laturilor numere întregi abia obtuz dacă laturile sale abc satisfac
a2 + b2 = c2 - 1.

Câte triunghiuri abia obtuze există cu perimetrul ≤ 75,000,000?

Problema 225

26 Decembrie 2008

Șirul 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355, 653, 1201 ...
e definit ca T1 = T2 = T3 = 1 și Tn = Tn-1 + Tn-2 + Tn-3.

Se poate demonstra că 27 nu divide nici un termen al acestui șir.
De fapt, 27 e primul număr impar cu această proprietate.

Găsește al 124lea număr impar care nu divide nici un termen al acestui șir.

Problema 226

02 Ianuarie 2009

Curba blancmange e mulțimea de puncte (x,y) astfel încât 0 ≤ x ≤ 1 și ,
unde s(x) = distanța de la x până la cel mai apropiat număr întreg.

Aria de sub curba blancmange e egală cu ½, desenată cu roz în diagrama de mai jos.

blancmange curve

Fie C cercul cu centrul în punctul (¼,½) și cu raza egală cu ¼, desenat cu negru în diagramă.

Ce arie de sub curba blancmange e inclusă în cercul C?
Introdu răspunsul rotunjit la opt cifre fracționare de forma 0.abcdefgh

Problema 227

10 Ianuarie 2009

"Urmărirea" e un joc care se joacă cu 2 zaruri și un număr par de jucători.

Jucătorii sunt așezați în jurul unei mese; jocul începe cu 2 jucători aflați pe partea opusă fața de celălalt, fiecare din cei doi având un zar. În fiecare rundă, cei doi jucători care au zarurile le vor arunca.
Daca după aruncare zarul arată 1, atunci jucătorul pasează zarul vecinului din stânga; dacă arată 6, atunci pasează zarul vecinului din dreapta; altfel va păstra zarul pentru runda următoare.
Jocul se termina când, după ce zarurile au fost aruncate și date altcuiva, un jucător are ambele zaruri.

Într-un joc cu 100 de jucători, care e numărul așteptat de runde al jocului ?

Introdu răspunsul rotunjit la 10 cifre semnificative.

Problema 229

24 Ianuarie 2009

Consideră numărul 3600. E foarte special pentru că:

3600 = 482 +     362

3600 = 202 + 2×402

3600 = 302 + 3×302

3600 = 452 + 7×152

În mod similar, se poate arăta că 88201 = 992 + 2802 = 2872 + 2×542 = 2832 + 3×522 = 1972 + 7×842.

În 1747, Euler a dovedit care numere pot fi reprezentate ca sumă a două pătrate. Suntem interesați de numerele n care admit reprezentări în toate cele 4 feluri:

n = a12 +   b12

n = a22 + 2 b22

n = a32 + 3 b32

n = a72 + 7 b72,

unde ak și bk sunt numere întregi pozitive.

Sunt 75373 de astfel de numere care nu depășesc 107.
Câte numere care au această proprietate nu depășesc 2×109?

Problema 231

06 Februarie 2009

Coeficientul binomial 10C3 e egal cu 120.
120 = 23 × 3 × 5 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5, și 2 + 2 + 2 + 3 + 5 = 14.
Deci suma termenilor din descompunerea în factori primi ai lui 10C3 e 14.

Află suma termenilor din descompunerea în factori primi ai lui 20000000C15000000.

Problema 232

13 Februarie 2009

Doi jucători dețin o monedă și o folosesc pe rând pentru a juca "Cursa". Când e rândul jucătorului 1, el aruncă moneda o dată: dacă nimerește cap atunci primeste 1 punct; dacă nimerește pajură nu primește nimic. Când e rândul jucătorului 2, el alege un număr natural T și aruncă moneda de T ori: Dacă nimerește de fiecare dată cap, atunci primește 2T-1 puncte; altfel nu primește nimic. Jucătorul 1 începe jocul primul. Câștigătorul e cel care ajunge primul la 100 de puncte sau mai mult.

La fiecare rundă, jucătorul 2 alege numărul T de aruncări care maximizează probabilitatea sa de a câștiga.

Care e probabilitatea ca jucătorul 2 să câștige ?

Introdu răspunsul rotunjit la 8 cifre fracționare de forma 0.abcdefgh .

Problema 233

20 Februarie 2009

Fie f(N) numărul de puncte cu coordonate numere întregi care se află pe un cerc care trece prin (0,0), (N,0),(0,N) și (N,N).

Se poate arăta că f(10000) = 36.

Care e suma tuturor numerelor întregi pozitive N ≤ 1011 astfel încât f(N) = 420 ?

Problema 235

07 Martie 2009

Este dată progresia aritmetico-geometrică u(k) = (900-3k)rk-1.
Fie s(n) = Σk=1...nu(k).

Găsește valoarea lui r astfel încât s(5000) = -600,000,000,000.

Introdu răspunsul rotunjit la 12 cifre după punctul decimal.

Problema 237

21 Martie 2009

Fie T(n) numărul de tururi pe o tablă de joc de 4 × n astfel încât:

  • Turul începe în colțul din stânga sus.
  • Turul constă în mutări de exact 1 pătrat spre stânga, dreapta, în sus sau în jos.
  • Turul vizitează fiecare pătrat exact 1 dată.
  • Turul se termină în colțul din stânga jos.

Diagrama arată un tur pe o tablă de joc de 4 × 10:

T(10) e 2329. Cât e T(1012) modulo 108?

Problema 238

29 Martie 2009

Creează un șir de numere folosind generatorul de numere pseudo-aleatorii "Blum Blum Shub":

s0 = 14025256
sn+1 = sn2 mod 20300713

Alătură aceste numere  s0s1s2… pentru a forma un șir w de lungime infinită.
Atunci, w = 14025256741014958470038053646…

Pentru un număr întreg pozitiv k, dacă nu există nici un subșir al lui w cu suma cifrelor egală cu k, p(k) e definit ca fiind zero. Dacă există cel puțin un subșir al lui w cu suma cifrelor egală cu k, o să zicem că p(k) = z, unde z e poziția de început a primei apariții a unui astfel de subșir.

De exemplu:

Subșirurile 1, 14, 1402, …
cu sumele cifrelor egale cu 1, 5, 7, …
încep la poziția 1, prin urmare p(1) = p(5) = p(7) = … = 1.

Subșirurile 4, 402, 4025, …
cu sumele cifrelor egale cu 4, 6, 11, …
încep la poziția 2, prin urmare p(4) = p(6) = p(11) = … = 2.

Subșirurile 02, 0252, …
cu sumele cifrelor egale cu 2, 9, …
încep la poziția 3, prin urmare p(2) = p(9) = … = 3.

Ține cont că subșirul 025 care începe la poziția 3, are o suma cifrelor egală cu 7, dar a existat un subșir înaintea lui (începând cu poziția 1) cu suma cifrelor de asemenea egală cu 7, deci p(7) = 1, nu 3.

Se poate verifica că, pentru 0 < k ≤ 103, ∑ p(k) = 4742.

Găsește ∑ p(k), pentru 0 < k ≤ 2·1015.

Problema 240

10 Aprilie 2009

Sunt exact 1111 feluri în care cinci zaruri cu 6 fețe (numerotate de la 1 la 6) pot fi aruncate astfel încât suma celor mai mari 3 valori e 15. Câteva exemple:

D1,D2,D3,D4,D5 = 4,3,6,3,5
D1,D2,D3,D4,D5 = 4,3,3,5,6
D1,D2,D3,D4,D5 = 3,3,3,6,6
D1,D2,D3,D4,D5 = 6,6,3,3,3

În câte feluri poți arunca 20 de zaruri cu 12 fețe fiecare (numerotate de la 1 la 12) astfel încât suma celor mai mari 10 valori e 70 ?

Problema 241

18 Aprilie 2009

Pentru un număr întreg pozitiv n, fie σ(n) suma tuturor divizorilor lui n; de exemplu, σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.

Un număr perfect, după cum probabil știi, e un număr unde σ(n) = 2n.

Să definim câtul perfecțiunii al unui număr întreg pozitiv ca fiindp(n)
σ(n)

n
.

Găsește suma tuturor numerelor întregi pozitive n ≤ 1018 pentru care p(n) e de forma k + 12, unde k e un număr întreg.

Problema 242

25 Aprilie 2009

Pentru mulțimea {1,2,...,n}, fie f(n,k) numărul de submulțimi cu k elemente a acestei mulțimi unde suma elementelor din fiecare submulțime e un număr impar. De exemplu, f(5,3) = 4, pentru că mulțimea {1,2,3,4,5} are 4 submulțimi de 3 elemente fiecare unde suma elementelor e un număr impar, adică: {1,2,4}, {1,3,5}, {2,3,4} si {2,4,5}.

Când toate trei valorile, n, k și f(n,k), sunt impare, o să zicem ca ele formează
un triplet impar [n,k,f(n,k)].

Sunt exact cinci triplete impare unde n ≤ 10, mai exact:
[1,1,f(1,1) = 1], [5,1,f(5,1) = 3], [5,5,f(5,5) = 1], [9,1,f(9,1) = 5] și [9,9,f(9,9) = 1].

Câte triplete impare există unde n ≤ 1012 ?

Problema 243

02 Mai 2009

O fracție pozitivă a cărei numărător e mai mic decât numitorul se numește fracție corectă.
Pentru orice numitor, d, o să fie d−1 fracții corecte; de exemplu, pentru d = 12:
1/12 , 2/12 , 3/12 , 4/12 , 5/12 , 6/12 , 7/12 , 8/12 , 9/12 , 10/12 , 11/12 .

O să numim o fracție care nu poate fi simplificată o fracție rezistentă.
În plus, o să definim rezistența unui numitor, R(d), ca fiind raportul dintre numărul fracțiilor sale corecte care sunt rezistente și d - 1; de exemplu, R(12) = 4/11 .
De fapt, d = 12 e cel mai mic numitor a cărui rezistență R(d) < 4/10 .

Găsește cel mai mic numitor d, cu o rezistență R(d) < 15499/94744 .

Problema 248

06 Iunie 2009

Primul număr n pentru care φ(n)=13! e 6227180929.

Găsește al 150,000lea număr care satisface această condiție.

Problema 249

13 Iunie 2009

Fie S = {2, 3, 5, ..., 4999} mulțimea numerelor prime mai mici de 5000.

Găsește câte submulțimi ale lui S există astfel încât suma elementelor unei submulțimi e un număr prim.
Introdu ca răspuns cele mai din dreapta 16 cifre ale rezultatului.

Problema 250

13 Iunie 2009

Găsește câte submulțimi nevide ale mulțimii {11, 22, 33,..., 250250250250} există astfel încât suma elementelor dintr-o submulțime să fie divizibilă cu 250. Introdu ca răspuns cele 16 cifre din dreapta rezultatului.

Problema 251

20 Iunie 2009

Un triplet de numere naturale (a,b,c) se numește triplet Cardano dacă satisface condiția:

De exemplu, (2,1,5) e un triplet Cardano.

Sunt 149 de triplete Cardano pentru care a+b+c ≤ 1000.

Află câte triplete Cardano există astfel încât a+b+c ≤ 110,000,000.

Problema 254

04 Septembrie 2009

Fie f(n) suma factorialelor cifrelor lui n. De exemplu, f(342) = 3! + 4! + 2! = 32.

Fie sf(n) suma cifrelor lui f(n). Deci sf(342) = 3 + 2 = 5.

Fie g(i) cel mai mic număr întreg pozitiv n astfel încât sf(n) = i. Chiar dacă sf(342) e 5, sf(25) e de asemenea 5, și se poate verifica că g(5) e 25.

Fie sg(i) suma cifrelor lui g(i). Deci sg(5) = 2 + 5 = 7.

În continuare, se poate verifica că g(20) e 267 și ∑ sg(i) pentru 1 ≤ i ≤ 20 e 156.

Cât e ∑ sg(i) pentru 1 ≤ i ≤ 150 ?

Problema 257

26 Septembrie 2009

Este dat triunghiul ABC unde laturile a ≤ b ≤ c sunt numere întregi. (AB = c, BC = a și AC = b).
Bisectoarele triunghiului intersectează laturile acestuia în punctele E, F și G (vezi imaginea de mai jos).


Segmentele EF, EG și FG împart triunghiul ABC în 4 triunghiuri mai mici: AEG, BFE, CGF si EFG.
Se poate demonstra că, pentru fiecare din aceste 4 triunghiuri, raportul aria(ABC)/aria(subtriunghi) e un număr rațional.
Totuși, există triunghiuri pentru care unele sau toate aceste raporturi sunt numere întregi.

Câte triunghiuri ABC cu perimetrul ≤100,000,000 există astfel încât raportul aria(ABC)/aria(AEG) e un număr întreg ?

Problema 258

03 Octombrie 2009

Un șir e definit în felul următor:

  • gk = 1, pentru 0 ≤ k ≤ 1999
  • gk = gk-2000 + gk-1999, pentru k ≥ 2000.

Găsește restul împărțirii lui gk la 20092010 pentru k = 1018.

Problema 260

16 Octombrie 2009

Vom defini un joc care implică 3 grămezi de pietre și se joacă de către 2 jucători.
Când îi vine rândul, un jucător îndepărtează una sau mai multe pietre din grămezi. Totuși, dacă ia pietre din mai mult de 1 grămadă, atunci trebuie să ia același număr de pietre din acele grămezi.

Cu alte cuvinte, jucătorul alege o valoare N>0 și îndepărtează:

  • N pietre dintr-o singură grămadă; sau
  • câte N pietre din oricare 2 grămezi (2N pietre în total); sau
  • câte N pietre din toate cele 3 grămezi (3N pietre în total).
Jucătorul care ia ultima piatră sau ultimele pietre câștigă.

O configurație câștigătoare e una în care primul jucător poate forța un câștig.
De exemplu, (0,0,13), (0,11,11) și (5,5,5) sunt configurații câștigătoare pentru că primul jucător poate să îndepărteze imediat toate primele.

O configurație pierzătoare e una în care al doilea jucător poate forța un câștig, indiferent de mutarea primului jucător.
De exemplu, (0,1,2) și (1,3,3) sunt configurații pierzătoare: orice mutare legală rezultă într-o configurație câștigătoare pentru al doilea jucător.

Consideră toate configurațiile pierzătoare (xi,yi,zi) unde xi ≤ yi ≤ zi ≤ 100.
Se poate verifica că, pentru acestea, Σ(xi+yi+zi) = 173895.

Găsește Σ(xi+yi+zi) unde xi ≤ yi ≤ zi ≤ 1000 reprezintă configurațiile pierzătoare.

Problema 261

23 Octombrie 2009

Să numim un număr întreg pozitiv k un pivot-pătrat, dacă există o pereche de numere întregi m > 0 și nk, astfel încât suma celor (m+1) pătrate consecutive până la k e egală cu suma celor m pătrate consecutive de la (n+1) încolo. Adică:

(k-m)2 + ... + k2 = (n+1)2 + ... + (n+m)2.

Câțiva pivoți-pătrați mici sunt

  • 4: 32 + 42 = 52
  • 21: 202 + 212 = 292
  • 24: 212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272
  • 110: 1082 + 1092 + 1102 = 1332 + 1342

Găsește suma tuturor pivoților-pătrați distincți ≤ 1010.

Problema 262

30 Octombrie 2009

Următoarea ecuație reprezintă topografia continuă a unei regiuni muntoase, întorcând altitudinea h în orice punct (x,y):


Un țânțar intenționează să zboare de la punctul A(200,200) până la punctul B(1400,1400), fără a părăsi zona dată de 0 ≤ xy ≤ 1600.

Datorită munților, mai întâi urcă până la punctul A' la altitudinea f. Apoi, păstrând altitudinea f, zboară ocolind orice obstacol până când ajunge la punctul B', aflat chiar deasupra lui B.

Mai întâi, determină altitudinea minimă constantă fmin care permite o astfel de călătorie de la A la B, rămânând în aria specificată.
Apoi află lungimea celei mai scurte căi de la A' la B' zburând la acea altitudine minimă fmin.

Introdu lungimea ca răspuns, rotunjită la 3 cifre fracționare.

Notă: Pentru conveniență, funcția altitudinii de mai sus e reprodusă mai jos într-o formă agreată de majoritatea limbajelor de programare:
h=( 5000-0.005*(x*x+y*y+x*y)+12.5*(x+y) ) * exp( -abs(0.000001*(x*x+y*y)-0.0015*(x+y)+0.7) )

Problema 263

07 Noiembrie 2009

Consideră numărul 6. Divizorii săi sunt: 1,2,3 și 6.
Fiecare număr de la 1 până la 6 inclusiv poate fi scris ca sumă de divizori distincți ai lui 6:
1=1, 2=2, 3=1+2, 4=1+3, 5=2+3, 6=6.
Un număr n e numit număr practic dacă fiecare număr de la 1 până la n inclusiv poate fi exprimat ca sumă de divizori distincți ai lui n.

O pereche de numere prime consecutive cu o diferență de 6 între ele se numește pereche sexy (pentru că "sex" e traducerea latină pentru cuvântul "șase"). Prima pereche sexy e (23, 29).

Ocazional putem găsi o triplă pereche, asta înseamnă trei perechi sexy consecutive, astfel încât al doilea membru al fiecărei perechi e primul membru al perechii următoare.

Uun număr n unde:

  • (n-9, n-3), (n-3,n+3), (n+3, n+9) formează o triplă pereche și
  • numerele n-8, n-4, n, n+4 și n+8 sunt practice,
se numește paradisul inginerului.

Găsește suma primelor 4 paradisuri ale inginerului.

Problema 264

14 Noiembrie 2009

Consideră toate triunghiurile care îndeplinesc următoarele condiții:

  • Toate coordonatele colțurilor sunt numere întregi.
  • Centrul cercului circumscris triunghiului se află în origine.
  • Ortocentrul triunghiului e în punctul H(5, 0).

Sunt 9 astfel de triunghiuri care au un perimetru ≤ 50.
Listate în ordine crescătoare a perimetrelor, ele sunt:

A(-4, 3), B(5, 0), C(4, -3)
A(4, 3), B(5, 0), C(-4, -3)
A(-3, 4), B(5, 0), C(3, -4)


A(3, 4), B(5, 0), C(-3, -4)
A(0, 5), B(5, 0), C(0, -5)
A(1, 8), B(8, -1), C(-4, -7)


A(8, 1), B(1, -8), C(-4, 7)
A(2, 9), B(9, -2), C(-6, -7)
A(9, 2), B(2, -9), C(-6, 7)

Suma perimetrelor, rotunjită la 4 cifre fracționare, e 291.0089.

Găsește toate triunghiurile care îndeplinesc condițiile de mai sus și care au un perimetru ≤ 105.
Introdu ca răspuns suma perimetrelor acelor triunghiuri rotunjită la 4 cifre fracționare.

Problema 265

21 Noiembrie 2009

2N cifre binare pot fi amplasate într-un cerc astfel încât toate subșirurile de N cifre sunt distincte dacă sunt citite în sensul acelor de ceas.

Pentru N=3, două astfel de aranjamente circulare sunt posibile, ignorând rotațiile:

Pentru primul aranjament, subșirurile de 3 cifre citite în sensul acelor de ceas sunt:
000, 001, 010, 101, 011, 111, 110 și 100.

Fiecare aranjament circular poate fi codat sub forma unui număr prin alăturarea cifrelor binare începând cu subșirul care conține doar zeroruri (acestea devenind cele mai semnificative cifre) și mergând în sensul acelor de ceas. Cele două aranjamente pentru N=3 sunt prin urmare reprezentate ca 23 și 29:

00010111 2 = 23
00011101 2 = 29

Dacă S(N) e suma reprezentărilor distincte, se poate observa că S(3) = 23 + 29 = 52.

Află S(5).

Problema 266

28 Noiembrie 2009

Divizorii lui 12 sunt: 1,2,3,4,6 și 12.
Cel mai mare divizor al lui 12 care nu depășește rădăcina pătrată al lui 12 e 3.
O să numim pseudo-radicalul (PSR) numărului întreg n ca fiind cel mai mare divizor al lui n care nu depășește rădăcina pătrată a lui n.
Se poate observa că PSR(3102)=47.

Fie p produsul numerelor prime mai mici decât 190.
Găsește PSR(p) mod 1016.

Problema 268

11 Decembrie 2009

Se poate verifica că sunt 23 de numere naturale mai mici decât 1000 care sunt divizibile cu cel puțin 4 numere prime distincte mai mici decât 100.

Găsește câte numere naturale mai mici decât 1016 sunt divizibile cu cel puțin 4 numere prime distincte mai mici decât 100.

Problema 269

19 Decembrie 2009

O rădăcină sau un zero al unui polinom P(x) e o soluție a ecuației P(x) = 0.
Fie Pn polinomul a cărui coeficienți sunt cifrele lui n.
De exemplu, P5703(x) = 5x3 + 7x2 + 3.

Se poate observa că:

  • Pn(0) e ultima cifră a lui n,
  • Pn(1) e suma cifrelor lui n,
  • Pn(10) e însuși n.

Fie Z(k) numărul de valori întregi pozitive ale lui n, care nu depășesc k pentru care polinomul Pn are cel puțin o rădăcină întreagă.

Se poate verifica că Z(100 000) e 14696.

Cât e Z(1016)?

Problema 270

26 Decembrie 2009

O bucată de hârtie pătrată având dimensiunile N×N (unde N e un numar intreg) e amplasată cu un colț la origine și 2 laturi pe axele x și y. Apoi o tăiem respectând următoarele reguli:

  • Facem doar taieturi drepte între 2a puncte de pe laturi diferite ale pătratului; aceste puncte trebuie să aibă drept coordonate numere întregi.
  • Două tăieturi nu se pot întrepătrunde, dar au voie să se întâlnească pe același punct de pe o latură.
  • Continuă să tai până când nu se mai pot face tăieturi care să respecte regulile de mai sus.

Considerând orice reflexie sau rotație ca fiind distinctă, o să numim C(N) numărul de moduri în care poți tăia un pătrat de dimensiune N×N. De exemplu, C(1) = 2 și C(2) = 30 (ilustrat mai jos).

Care e restul împărțirii lui C(30) la 108 ?

Problema 271

02 Ianuarie 2010

Pentru un număr pozitiv n, definim S(n) ca fiind suma numerelor întregi x pentru care 1<x<n și
x3≡1 mod n.

Când n=91, x poate lua 8 valori posibile, mai exact : 9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81.
Prin urmare, S(91)=9+16+22+29+53+74+79+81=363.

Găsește S(13082761331670030).

Problema 272

02 Ianuarie 2010

Pentru un număr pozitiv n, fie C(n) numărul de valori întregi ale luix pentru care 1<x<n și
x3≡1 mod n.

Când n=91, sunt 8 valori posibile pentru x, mai exact: 9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81.
Prin urmare, C(91)=8.

Află suma valorilor pozitive ale lui n≤1011 pentru care C(n)=242.

Problema 273

09 Ianuarie 2010

Consideră ecuații de forma: a2 + b2 = N, 0 ≤ ab, unde a, b și N sunt numere întregi.

Pentru N=65 sunt 2 soluții:

a=1, b=8 și a=4, b=7.

Fie S(N) suma valorilor lui a din toate soluțiile ecuației a2 + b2 = N, 0 ≤ ab, unde a, b și N sunt numere întregi.

Deci S(65) = 1 + 4 = 5.

Găsește ∑S(N) pentru toate valorile libere-de-pătrate ale lui N care sunt divizibile cu numere prime de forma 4k+1, unde 4k+1 < 150.

Problema 276

29 Ianuarie 2010

Consideră triunghiurile cu lungimile laturilor a, b și c numere întregi unde a ≤ b ≤ c.
Un triunghi având laturile (a,b,c) numere întregi e numit primitiv dacă cmmdc(a,b,c)=1.
Câte triunghiuri primitive există cu un perimetru care nu depășește 10 000 000?

Problema 278

13 Februarie 2010

Dacă sunt date valorile numerelor întregi < a1 < a2 <... < an, consideră combinația liniară
q1a1 + q2a2 + ... + qnan = b, folosind doar valori întregi qk ≥ 0.

Ține cont că, pentru un set de valori ale lui ak, este posibil ca nu toate valorile lui b să fie posibile.
De exemplu, dacă a1 = 5 și a2 = 7, atunci nu există nici o valoare pentru q1 ≥ 0 și q2 ≥ 0 astfel încât b să fie
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 16, 18 sau 23.
De fapt, 23 e cea mai mare valoare imposibilă a lui b pentru a1 = 5 și a2 = 7.
Prin urmare, vom defini f(5, 7) = 23.
În mod similiar, se poate arăta că f(6, 10, 15)=29 și f(14, 22, 77) = 195.

Găsește ∑ f(p*q,p*r,q*r), unde p, q și r sunt numere prime iar p < q < r < 5000.

Problema 279

20 Februarie 2010

Câte triunghiuri există care au lungimile laturilor numere întregi, cel putin un unghi cu valoare întreagă (măsurat în grade) și perimetrul care nu depășește 108?

Problema 280

27 Februarie 2010

O furnică merge aleatoriu pe o matrice de dimensiune 5x5. Mersul începe din pătratul din mijloc. La fiecare pas, furnica merge pe un pătrat adiacent aleatoriu, fără a părăsi matricea; prin urmare sunt 2, 3 sau 4 mișcări posibile, în funcție de poziția furnicii.

La începutul mersului, o sămânță este amplasată pe fiecare pătrat din rândul inferior. Când furnica nu transportă sămânța și ajunge pe un pătrat din rândul inferior care conține o sămânță, atunci o să preia acea sămânță. Furnica o să lase sămânța pe primul pătrat liber din rândul superior la care o să ajungă.

Care e numărul așteptat de pași care îi va face furnica până când toate semințele au fost amplasate pe rândul de sus ?
Introdu răspunsul rotunjit la 6 cifre fracționare.

Problema 282

12 Martie 2010

Pentru numerele non-negative m, n, funcția Ackermann A(m, n) e definită în felul următor:

De exemplu A(1, 0) = 2, A(2, 2) = 7 si A(3, 4) = 125.

Găsește A(n, n) și introdu ca răspuns restul împărțirii rezultatului la 148.

Problema 283

19 Martie 2010

Consideră triunghiul cu laturile 6, 8 și 10. Se poate observa că, atât perimetrul cât și aria sunt egale cu 24. Deci raportul arie/perimetru e egal cu 1.
Consideră triunghiul cu laturile 13, 14 și 15. Perimetrul e 42 în timp ce aria e 84. Deci pentru acest triunghi raportul arie/perimetru e egal cu 2.

Găsește suma perimetrelor tuturor triunghiurilor având lungimile laturilor numere întregi și raportul arie/perimetru un număr întreg pozitiv care nu depășește 1000.

Problema 284

27 Martie 2010

Numărul de 3 cifre 376 scris în baza 10 e un exemplu de numere cu proprietatea specială că pătratul său se termină cu aceleași cifre: 3762 = 141376. Să numim un număr cu această proprietate un pătrat stabil.

Pătrate stabile pot fi observate și în alte baze numerice. În baza 14, numărul de 3 cifre c37 e de asemenea un pătrat stabil: c372 = aa0c37, iar suma cifrelor sale în aceeași bază numerică e c+3+7=18. Literele a, b, c și d sunt folosite pentru cifrele corespunzătoare lui 10, 11, 12 și 13, într-un mod asemănător numerelor hexadecimale.

Pentru 1 ≤ n ≤ 9, suma cifrelor tuturor pătratelor stabile de n cifre scrise în baza 14 e 2d8 (582 în baza 10). Pătrate stabile cu zerouri la început nu sunt permise.

Găsește suma cifrelor tuturor pătratelor stabile de n cifre scrise în baza 14 pentru
1 ≤ n ≤ 10000 (decimal) și introdu răspunsul scris în baza 14, folosind litere mici acolo unde e cazul.

Problema 285

03 Aprilie 2010

Albert alege un număr natural k, apoi două numere reale a, b sunt alese aleatoriu din intervalul [0,1] care are distribuție uniformă.
Rădăcina pătrată a sumei (k·a+1)2 + (k·b+1)2 e apoi calculată și rotunjită până la cel mai apropiat număr întreg. Dacă rezultatul e egal cu k, el primește k puncte; altfel nu primește nimic.

De exemplu, dacă k = 6, a = 0.2 și b = 0.85, atunci (k·a+1)2 + (k·b+1)2 = 42.05.
Rădăcina pătrată a lui 42.05 e 6.484... și, când e rotunjită la cel mai apropiat număr întreg, devine 6.
E egală cu k, deci el primește 6 puncte.

Se poate arăta că, dacă joacă 10 runde cu k = 1, k = 2, ..., k = 10, valoarea așteptată a scorului său total, rotunjită la 5 cifre zecimale, e 10.20914.

Dacă joacă 105 runde cu k = 1, k = 2, k = 3, ..., k = 105, care e valoarea așteptată a scorului său total, rotunjită la 5 cifre zecimale?

Problema 286

03 Aprilie 2010

Barbara e un matematician și o jucătoare de baschet. Ea a descoperit că probabilitatea de a nimeri coșul când aruncă de la distanța x e exact (1 - x/q), unde q e o constantă reală mai mare de 50.

În timpul fiecărui antrenament, ea aruncă la coș de la distanțele x = 1, x = 2, ..., x = 50 și, conform înregistrărilor ei, are o șansă de exact 2 % să atingă un scor de exact 20 de puncte.

Găsește q și introdu răspunsul rotunjit la 10 zecimale.

Problema 288

17 Aprilie 2010

Pentru orice număr prim p numărul N(p,q) e definit ca N(p,q) = ∑n=de la 0 la q Tn*pn
unde Tn e generat de următorul generator de numere aleatorii:

S0 = 290797
Sn+1 = Sn2 mod 50515093
Tn = Sn mod p

Fie Nfac(p,q) factorialul lui N(p,q).
Fie NF(p,q) numărul de factori p din Nfac(p,q).

Îți este dat NF(3,10000) mod 320=624955285.

Găsește restul împărțirii lui NF(61,107) la 6110

Problema 289

23 Aprilie 2010

Fie C(x,y) un cerc care trece prin punctele (x, y), (x, y+1), (x+1, y) și (x+1, y+1).

Pentru numerele întregi pozitive m și n, fie E(m,n) o configurație care constă din cercurile m·n:
{ C(x,y): 0 ≤ x < m, 0 ≤ y < n, x și y sunt numere întregi }

Un ciclu Eulerian pe E(m,n) e o cale închisă care trece prin fiecare arc exact 1 dată.
Sunt multe astfel de căi posibile pe E(m,n), dar suntem interesați doar de cele care nu se interesectează cu ele însele: O astfel de cale doar se atinge în anumite puncte, dar nu se interesectează niciodată.

Imaginea de mai jos ilustrează E(3,3) și un exemplu al unui ciclu Eulerian care nu se interesectează.

Fie L(m,n) numărul de cicli Eulerieni pe E(m,n) care nu se intersectează.
De exemplu, L(1,2) = 2, L(2,2) = 37 si L(3,3) = 104290.

Găsește restul împărțirii lui L(6,10) la 1010.

Problema 290

30 Aprilie 2010

Câte numere întregi 0 ≤ n < 1018 au proprietatea că suma cifrelor lui n e egală cu suma cifrelor lui 137n?

Problema 291

07 Mai 2010

Un număr prim p e numit un număr prim Panaitopol dacă unde x și y
sunt niște numere întregi pozitive.

Află câte numere prime Panaitopol există mai mici decât 5×1015.

Problema 292

15 Mai 2010

O să definim un poligon pitagorean ca fiind un poligon convex cu următoarele proprietăți:

  • are cel puțin 3 colțuri,
  • nu există 3 colțuri coliniare,
  • fiecare colț are drept coordonate numere întregi,
  • fiecare latură are ca lungime un număr întreg.

Pentru un număr întreg n, fie P(n) numărul de poligoane pitagoreene distincte pentru care perimetrul e ≤ n.
Poligoanele pitagoreene sunt considerate a fi distincte atâta timp cât nici unul nu e o translatare a altuia.

Îți este dat că P(4) = 1, P(30) = 3655 și P(60) = 891045.
Află P(120).

Problema 293

22 Mai 2010

Un număr întreg pozitiv care e par se va numi admisibil dacă e o putere a lui 2 sau dacă factorii primi distincți ai săi sunt numere prime consecutive.
Primele 12 numere admisibile sunt 2,4,6,8,12,16,18,24,30,32,36,48.

Daca N e admisibil, cel mai mic număr întreg M > 1, astfel încât N+M e un număr prim, se va numi numărul pseudo-Norocos al lui N.

De exemplu, N=630 e admisibil pentru că e par și factorii primi distincți ai săi sunt numerele prime consecutive 2,3,5 și 7.
Următorul număr prim după 631 e 641; prin urmare, numărul pseudo-Norocos pentru 630 e M=11.
Se poate observa că numărul pseudo-Norocos pentru 16 e 3.

Găsește suma tuturor numerelor pseudo-Norocoase distincte pentru numerele admisibile N mai mici decât 109.

Problema 294

29 Mai 2010

Pentru un număr întreg pozitiv k, fie d(k) suma cifrelor lui k. Prin urmare d(42) = 4+2 = 6.

Pentru un număr întreg pozitiv n, S(n) reprezintă numărul valorilor întregi pozitive ale lui k < 10n pentru care se îndeplinesc următoarele proprietăți:

  • k e divizibil cu 23 și
  • d(k) = 23.

Este dat S(9) = 263626 și S(42) = 6377168878570056.

Găsește S(1112) și introdu ca răspuns restul împărțirii rezultatului la 109.

Problema 295

05 Iunie 2010

Numim aria convexă cuprinsă între 2 cercuri o gaură lenticulară dacă:

  • Centrele ambelor cercuri au drept coordonate numere întregi.
  • Cele 2 cercuri se intersectează în 2 puncte distincte care au drept coordonate numere întregi.
  • Interiorul ariei convexe cuprinse între cele 2 cercuri nu conține nici un punct care are drept coordonate numere întregi.

Consideră cercurile:
C0: x2+y2=25
C1: (x+4)2+(y-4)2=1
C2: (x-12)2+(y-4)2=65

Cercurile C0, C1 și C2 sunt ilustrate în imaginea de mai jos.

C0 și C1 formează o gaură lenticulară, la fel și cercurile C0 și C2.

Vom numi o pereche ordonată de numere reale pozitive (r1, r2) o pereche lenticulară dacă există 2 cercuri cu razele r1 și r2 care formează o gaură lenticulară. Se poate verifica că (1, 5) și (5, √65) sunt perechile lenticulare ale exemplului de mai sus.

Fie L(N) numărul de perechi lenticulare (r1, r2) distincte pentru care 0 < r1 ≤ r2 ≤ N.
Se poate verifica că L(10) = 30 și L(100) = 3442.

Găsește L(100 000).

Problema 296

11 Iunie 2010

Fie un triunghi ABC având lungimile laturilor numere întregi și BCACAB.
k e bisectoarea unghiului ACB.
m e tangenta în punctul C a cercului circumscris triunghiului ABC.
n e o dreaptă paralelă cu m care trece prin B.
Intersecția dreptei n cu k e punctul E.

Câte triunghiuri ABC există, având un perimetru care nu depășește 100 000, astfel încât dreapta BE are ca lungime un număr întreg ?

Problema 297

18 Iunie 2010

Fiecare nou termen din șirul lui Fibonacci e obținut prin adunarea celor doi termeni precedenți.
Începând cu 1 și 2, primii 10 termeni vor fi: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.

Fiecare număr întreg pozitiv poate fi scris în mod unic ca sumă de termeni neconsecutivi din șirul lui Fibonacci. De exemplu, 100 = 3 + 8 + 89.
O astfel de sumă se numește reprezentarea Zeckendorf a numărului.

Pentru orice număr întreg n>0, fie z(n) numărul de termeni din reprezentarea Zeckendorf a lui n.
Prin urmare, z(5) = 1, z(14) = 2, z(100) = 3 etc.
De asemenea, pentru 0<n<106, ∑ z(n) = 7894453.

Găsește ∑ z(n) pentru 0<n<1017.

Problema 298

25 Iunie 2010

Larry și Robin se joacă un joc al memoriei care implică un șir de numere aleatorii între 1 și 10 inclusiv; aceste numere sunt rostite unul câte unul. Fiecare jucător poate să țină minte maxim 5 numere care au fost rostite. Când numărul rostit se află în memoria jucătorului, acel jucător primește 1 punct. Dacă numărul nu se află în memorie, jucătorul va ține minte noul număr, eliminând un număr mai vechi din memorie, în caz că aceasta era plină.

Ambii jucători încep cu memorii goale. Ambii jucători adaugă în memorie numerele care le ratează, dar folosesc o strategie diferită atunci când se hotărăsc ce număr să elimine:
Strategia lui Larry e să elimine numărul pentru care a trecut cel mai mult timp de când a fost rostit ultima oară.
Strategia lui Robin e să elimine numărul care a stat cel mai mult timp în memorie.

Un exemplu de joc:

Runda Numărul
rostit
Memoria
lui Larry
Scorul
lui Larry
Memoria
lui Robin
Scorul
lui Robin
1 1 1 0 1 0
2 2 1,2 0 1,2 0
3 4 1,2,4 0 1,2,4 0
4 6 1,2,4,6 0 1,2,4,6 0
5 1 1,2,4,6 1 1,2,4,6 1
6 8 1,2,4,6,8 1 1,2,4,6,8 1
7 10 1,4,6,8,10 1 2,4,6,8,10 1
8 2 1,2,6,8,10 1 2,4,6,8,10 2
9 4 1,2,4,8,10 1 2,4,6,8,10 3
10 1 1,2,4,8,10 2 1,4,6,8,10 3

Dacă notăm scorul lui Larry cu L și al lui Robin cu R, care e valoarea așteptată a lui |L-R| după 50 de runde ? Introdu răspunsul rotunjit la 8 cifre zecimale folosind formatul x.xxxxxxxx .

Problema 299

03 Iulie 2010

Patru puncte cu coordonate numere întregi sunt selectate:
A(a, 0), B(b, 0), C(0, c) și D(0, d), unde 0 < a < b și 0 < c < d.
Punctul P, de asemenea cu coordonate numere întregi, e ales pe linia AC astfel încât cele 3 triunghiuri ABP, CPD și PBD sunt asemănătoare.

E ușor de demonstrat că cele 3 triunghiuri pot fi similare doar dacă a=c.

Prin urmare, dat fiind faptul că a=c, căutăm triplete (a,b,d) astfel încât cel puțin un punct P (cu coordonate numere întregi) să existe pe AC, făcând ca cele 3 triunghiuri ABP, CDP și BDP să fie asemănătoare.

De exemplu, dacă (a,b,d)=(2,3,4), se poate verifica cu ușurință că punctul P(1,1) satisface condiția de mai sus. Ține cont că tripletele (2,3,4) și (2,4,3) sunt considerate a fi distincte, chiar dacă punctul P(1,1) e comun pentru amândouă.

Dacă b+d < 100, sunt 92 de triplete (a,b,d) distincte, astfel încât punctul P există.
Dacă b+d < 100 000, sunt 320471 de triplete (a,b,d) distincte, astfel încât punctul P există.

Dacă b+d < 100 000 000, câte triplete (a,b,d) există, astfel încât punctul P există ?

Problema 302

18 Septembrie 2010

Un număr întreg pozitiv n e puternic dacă p2 e un divizor al lui n pentru orice factor prim p al lui n.

Un număr întreg pozitiv n e o putere perfectă dacă n poate fi exprimat ca putere al unui alt număr întreg pozitiv.

Un număr întreg pozitiv n e un număr Ahile dacă n e puternic dar nu e o putere perfectă. De exemplu, 864 și 1000 sunt numere Ahile: 864 = 25·33 și 1800 = 23·32·52.

O să zicem că un număr întreg pozitiv S e un numar Ahile puternic dacă S și φ(S) sunt numere Ahile.1
De exemplu, 864 e un număr Ahile puternic: φ(864) = 288 = 25·32. Totuși, 1800 nu e un număr Ahile puternic pentru că: φ(1800) = 480 = 25·31·51.

Sunt 7 numere Ahile puternice mai mici de 104 și 656 mai mici de 108.

Câte numere Ahile puternice mai mici de 1018 există ?

1 φ reprezintă Indicatorul lui Euler.

Problema 303

25 Septembrie 2010

Pentru un număr natural n, definim f(n) ca fiind cel mai mic multiplu pozitiv a lui n care, scris în baza 10, folosește doar cifre ≤ 2.

Prin urmare f(2)=2, f(3)=12, f(7)=21, f(42)=210, f(89)=1121222.

De asemenea, .

Găsește .

Problema 304

03 Octombrie 2010

Pentru orice număr întreg pozitiv n funcția next_prime(n) întoarce cel mai mic număr prim p
astfel încât p>n.

Șirul a(n) e definit ca:
a(1)=next_prime(1014) și a(n)=next_prime(a(n-1)) unde n>1.

Șirul Fibonacci f(n) e definit ca: f(0)=0, f(1)=1 și f(n)=f(n-1)+f(n-2) unde n>1.

Șirul b(n) e definit ca f(a(n)).

Găsește ∑b(n) unde 1≤n≤100 000. Introdu ca răspuns restul împărțirii rezultatului la 1234567891011.

Problema 305

10 Octombrie 2010

Fie S șirul de caractere (infinit) compus din alăturarea numerelor întregi pozitive (începând cu 1) scrise în baza 10.
Deci S = 1234567891011121314151617181920212223242...

Se poate observa că fiecare număr o să apară de o infinitate de ori în S.

Fie f(n) poziția de început a celei de-a n-a apariție a lui n în S.
De exemplu, f(1)=1, f(5)=81, f(12)=271 și f(7780)=111111365.

Află ∑f(3k) pentru 1≤k≤13.

Problema 307

24 Octombrie 2010

k defecte sunt distribuite aleatoriu unor n chip-uri cu circuite integrate care sunt produse de o fabrică (un chip poate avea oricâte defecte și fiecare defect e independent de celelalte defecte).

Fie p(k,n) probabilitatea să existe un chip cu cel puțin 3 defecte.
De exemplu p(3,7) ≈ 0.0204081633.

Află p(20 000, 1 000 000) și introdu răspunsul rotunjit la 10 zecimale sub forma 0.abcdefghij

Problema 308

30 Octombrie 2010

Un program scris în limbajul de programare Fractran constă dintr-o listă de fracții.

Starea internă a mașinii virtuale Fractran e un număr întreg pozitiv care, la început, e inițializat cu o anumită valoare. Fiecare iterație a unui program Fractran înmulțește numărul care reprezintă starea cu prima fracție din listă, rezultatul fiind un număr întreg.

De exemplu, unul din programele Fractran scrise de John Horton Conway pentru a genera numere prime constă din următoarele 14 fracții:

17
91
,
78
85
,
19
51
,
23
38
,
29
33
,
77
29
,
95
23
,
77
19
,
1
17
,
11
13
,
13
11
,
15
2
,
1
7
,
55
1
.

Începând cu valoarea de inițializare 2, iterații succesive ale programului produc următorul șir:
15, 825, 725, 1925, 2275, 425, ..., 68, 4, 30, ..., 136, 8, 60, ..., 544, 32, 240, ...

Puterile lui 2 care apar în acest șir sunt 22, 23, 25, ...
Se poate arăta că toate puterile lui 2 din acest șir au numere prime ca exponenți și că toate numerele prime apar ca exponenți ai puterilor lui 2, în ordinea corectă !

Dacă cineva folosește programul de mai sus pentru a rezolva problema nr. 7 de pe Project Euler (găsește al 10001lea număr prim), de câte iterații ar fi nevoie până când programul ar produce 210001-lea număr prim ?

Problema 309

06 Noiembrie 2010

În clasica problemă "Încrucișarea Scărilor", ni se dau lungimile x și y a 2 scări așezate pe zidurile opuse ale unei străzi înguste. Este dată și înălțimea h de la sol unde cele două scări se încrucișează și ni se cere să aflăm lățimea străzii (w).

Aici luăm în considerare doar acele cazuri când toate cele 4 variabile sunt numere întregi pozitive.
De exemplu, dacă x = 70, y = 119 și h = 30, atunci se poate verifica că w = 56.

De fapt, pentru valori întregi ale numerelor x, y, h unde 0 < x < y < 200, sunt doar cinci triplete (x,y,h) care produc soluții întregi pentru w:
(70, 119, 30), (74, 182, 21), (87, 105, 35), (100, 116, 35) și (119, 175, 40).

Pentru valori întregi ale numerelor x, y, h unde 0 < x < y < 1 000 000, câte triplete (x,y,h) produc soluții întregi pentru w?

Problema 311

20 Noiembrie 2010

ABCD e un patrulater convex care are lungimile laturilor numere întregi, unde 1 ≤ AB < BC < CD < AD.
BD are ca lungime un număr întreg. O e mijlocul lui BD. AO are ca lungime un număr întreg.
O să zicem ca ABCD e un patrulater biclinic întreg dacă AO = CO ≤ BO = DO.

De exemplu, următorul patrulater e un patrulater biclinic întreg:
AB = 19, BC = 29, CD = 37, AD = 43, BD = 48 și AO = CO = 23.

Fie B(N) numărul de patrulatere ABCD biclinice întregi distincte care satisfac AB2+BC2+CD2+AD2N.
Se poate verifica că B(10 000) = 49 și B(1 000 000) = 38239.

Află B(10 000 000 000).

Problema 312

28 Noiembrie 2010

- Un graf Sierpiński de ordin 1 (S1) e un triunghi echilateral.
- Sn+1 e obținut din Sn prin poziționarea a 3 copii ai lui Sn astfel încât fiecare pereche de 2 astfel de copii au câte un colț comun.

Fie C(n) numărul de cicli care trec exact 1 dată prin toate vârfurile lui Sn.
De exemplu, C(3) = 8 pentru că 8 astfel de cicli pot fi desenați pe S3, după cum se vede mai jos:

Se poate verifica că:
C(1) = C(2) = 1
C(5) = 71328803586048
restul împărțirii lui C(10 000) la 108 = 37652224
restul împărțirii lui C(10 000) la 138 = 617720485

Află restul împărțirii lui C(C(C(10 000))) la 138.

Problema 313

05 Decembrie 2010

Într-un joc, un buton se poate mișca orizontal sau vertical într-o poziție liberă. Obiectivul jocului este să miști butonul roșu din colțul stânga-sus la colțul dreapta-jos; poziția liberă la început e întotdeauna în colțul dreapta-jos. De exemplu, următoarele imagini arată cum jocul se poate juca pe o tablă de dimensiune 2 pe 2.

Fie S(m,n) numărul minim de mutări pentru a completa jocul pe o tablă de dimensiune m pe n. De exemplu, se poate verifica că S(5,4) = 25.

Sunt exact 5482 de table diferite pentru care S(m,n) = p2, unde p < 100 e un număr prim.

Câte table există care au S(m,n) = p2, unde p < 106 e un număr prim ?

Problema 316

25 Decembrie 2010

Fie p = p1 p2 p3 ... un șir infinit de cifre aleatorii selectate cu aceeași probabilitate din mulțimea {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Se poate vedea că p corespunde cu numărul real 0.p1 p2 p3 ....
Se mai poate vedea că, alegând un număr real aleatoriu din intervalul [0,1), e echivalent cu alegerea unui șir infinit de cifre aleatorii selectate cu aceeași probabilitate din mulțimea {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Pentru orice număr întreg pozitiv n cu d cifre, fie k cel mai mic index astfel încât
pk, pk+1, ...pk+d-1 sunt cifrele lui n, în ordinea dată.
Fie g(n) valoarea așteptată a lui k; se poate demonstra că g(n) e întotdeauna finit și, în mod interesant, e întotdeauna un număr întreg.

De exemplu, dacă n = 535, atunci
pentru p = 31415926535897...., obținem k = 9
pentru p = 355287143650049560000490848764084685354..., obținem k = 36
etc și descoperim că g(535) = 1008.

Dacă , găsește

Notă: reprezintă funcția rotunjirii în jos.

Problema 317

01 Ianuarie 2011

O artificie explodează la o altitudine de 100 de metri deasupra solului. Se sparge într-un număr mare de fragmente foarte mici, care zboară în toate direcțiile; toate aceste fragmente au aceeași viteză inițială de 20 m/s.

O să presupunem că fragmentele se mișcă fără ca aerul să opună rezistență, într-un câmp gravitațional uniform cu g=9.81 m/s2.

Găsește volumul (în m3) regiunii prin care fragmentele zboară înainte de a atinge solul. Introdu răspunsul rotunjit la 4 zecimale.

Problema 318

01 Ianuarie 2011

Consideră numărul real √2+√3.
Când calculăm puterile pare ale numărului √2+√3 obținem:
(√2+√3)2 = 9.898979485566356...
(√2+√3)4 = 97.98979485566356...
(√2+√3)6 = 969.998969071069263...
(√2+√3)8 = 9601.99989585502907...
(√2+√3)10 = 95049.999989479221...
(√2+√3)12 = 940897.9999989371855...
(√2+√3)14 = 9313929.99999989263...
(√2+√3)16 = 92198401.99999998915...

Se pare că numărul de cifre de 9 consecutive de la începutul părții fracționare a acestor puteri e ne-descrescător.
De fapt, se poate demonstra că partea fracționară a numărului (√2+√3)2n se apropie de 1 pentru valori mari ale lui n.

Consideră toate numerele reale de forma √p+√q, unde p<q sunt numere întregi pozitive, astfel încât partea fracționară a numărului (√p+√q)2n se apropie de 1 pentru valori mari ale lui n.

Fie C(p,q,n) numărul de cifre de 9 consecutive de la începutul părții fracționare a numărului
(√p+√q)2n.

Fie N(p,q) valoarea minimă a lui n astfel încât C(p,q,n) ≥ 2011.

Află ∑N(p,q) pentru p+q ≤ 2011.

Problema 319

08 Ianuarie 2011

Fie x1, x2,..., xn un șir de lungime n astfel încât:

  • x1 = 2
  • pentru toate valorile 1 < in : xi-1 < xi
  • pentru toate valorile lui i și j unde 1 ≤ i, jn : (xi) j < (xj + 1)i

Sunt doar 5 astfel de șiruri de lungime 2, mai exact: {2,4}, {2,5}, {2,6}, {2,7} și {2,8}.
Sunt 293 astfel de șiruri de lungime 5; trei exemple sunt date mai jos:
{2,5,11,25,55}, {2,6,14,36,88}, {2,8,22,64,181}.

Fie t(n) numărul de astfel de șiruri de lungime n.
Îți este dat t(10) = 86195 și t(20) = 5227991891.

Află t(1010) și introdu ca răspuns restul împărțirii acestui număr la 109.

Problema 320

15 Ianuarie 2011

Fie N(i) cel mai mic număr întreg n astfel încât n! e divizibil cu (i!)1234567890

Fie S(u)=∑N(i) pentru 10 ≤ iu.

S(1000)=614538266565663.

Găsește restul împărțirii lui S(1 000 000) la 1018.

Problema 321

23 Ianuarie 2011

Un rând orizontal compus din 2n + 1 pătrate are n cercuri roșii amplasate la un capăt și n cercuri albastre amplasate la celălalt capăt, fiind separate de un singur pătrat gol în mijlocul rândului. De exemplu, când n = 3:

Un cerc poate fi mutat de pe un pătrat direct pe următorul sau sărind peste exact 1 cerc atât timp cât pătratul destinatar e liber.

Fie M(n) numărul minim de mutări necesare pentru a inversa pozițiile cercurilor; adică a muta toate cercurile roșii în partea dreaptă și toate cercurile albastre în partea stângă.

Se poate verifica că M(3) = 15, care se întamplă să fie un număr triunghiular.

Dacă creăm un șir cu toate valorile lui n pentru care M(n) e un număr triunghiular, atunci primii 5 termeni ai șirului vor fi:
1, 3, 10, 22 și 63; suma acestora e 99.

Găsește suma primilor 40 de termeni ai acestui șir.

Problema 322

30 Ianuarie 2011

Fie T(m, n) numărul de coeficienți binomiali iCn care sunt divizibili cu 10, unde ni < m (i, m și n sunt numere naturale).
Este dat T(109, 107-10) = 989697000.

Află T(1018, 1012-10).

Problema 323

06 Februarie 2011

Fie y0, y1, y2,... un șir de numere întregi aleatorii de 32 de biți fiecare
(adică 0 ≤ yi < 232, fiecare valoare având aceeași șansă să apară).

Pentru șirul xi următoarea relație de recurență este dată:

  • x0 = 0 și
  • xi = xi-1 | yi-1, pentru i > 0. ( | e operatorul OR aplicat bit cu bit)

Se poate vedea că până la urma o să existe un index N astfel încât xi = 232 -1 (un șir de biți format în totalitate din bitul 1) pentru toate valorile i ≥ N.

Găsește valoarea așteptată a lui N.
Introdu ca răspuns rezultatul rotunjit la 10 cifre fracționare.

Problema 324

13 Februarie 2011

Fie f(n) numărul de moduri în care se poate umple un turn de dimensiune 3×3×n cu blocuri de dimensiune 2×1×1.
Îți este permis să rotești blocurile în orice fel; totuși, rotațiile, reflecțiile etc. ale turnului sunt considerate distincte.

De exemplu (cu q = 100000007):
f(2) = 229,
f(4) = 117805,
f(10) mod q = 96149360,
f(103) mod q = 24806056,
f(106) mod q = 30808124.

Află f(1010000) mod 100000007.

Problema 325

19 Februarie 2011

Vom defini un joc care se implică 2 jucători și 2 gramezi de pietre. Cand îi vine rândul, un jucător îndepărtează un anumit număr de pietre din grămada mai mare. Numărul de pietre care le îndepărtează trebuie să fie un multiplu pozitiv al numărului de pietre din grămada mai mică.

De exemplu, perechea ordonată (6, 14) descrie o configurație cu 6 pietre în grămada mică și 14 pietre în cea mare; în acest caz, primul jucător poate îndepărta 6 sau 12 pietre din grămada mare.

Jucătorul care ia toate pietrele dintr-o grămada câștigă jocul.

O configurație câștigătoare e una în care primul jucător poate forța un câștig. De exemplu, (1,5), (2,6) și (3,12) sunt configurații câștigătoare pentru că primul jucător poate, la prima mutare, să îndepărteze toate pietrele din grămada mică.

O configurație pierzătoare e una în care al doilea jucător poate forța un câștig, indiferent de mutarea primului jucător. De exemplu, (2,3) și (3,4) sunt configurații pierzătoare: orice mutare legală rezultă într-o configurație câștigătoare pentru al doilea jucător.

Fie S(N) suma (xi+yi) pentru toate configurațiile pierzătoare (xi,yi), 0 < xi < yiN. Se poate verifica că S(10) = 211 și S(104) = 230312207313.

Găsește S(1016) mod 710.

Problema 326

26 Februarie 2011

Fie an un șir definit recursiv în următorul fel: .

Deci primii 10 termeni ai lui an sunt: 1,1,0,3,0,3,5,4,1,9.

Fie f(N,M) numărul perechilor (p,q) astfel încât:

Se poate vedea că f(10,10)=4 cu perechile (3,3), (5,5), (7,9) și (9,10).

Îți mai este dat că f(104,103)=97158.

Află f(1012,106).

Problema 329

20 Martie 2011

Susan are o broască.
Broasca ei sare pe 500 de pătrate numerotate de la 1 la 500. Ea poate să sară doar câte un pătrat spre stânga sau spre dreapta, cu aceeași probabilitate, și nu poate sări în afara intervalului [1;500].
(dacă aterizează la unul din capete, la următoarea săritură va sări automat pe singurul pătrat disponibil.)

Când e pe un pătrat care are un număr prim pe el, ea orăcăie 'P' (PRIM) cu probabilitatea de 2/3 sau 'N' (NU E PRIM) cu probabilitatea de 1/3, chiar înainte de a sări pe următorul pătrat.
Când e pe un pătrat care are un număr neprim pe el, ea orăcăie 'P' cu probabilitatea de 1/3 sau 'N' cu probabilitatea de 2/3, chiar înainte de a sări pe următorul pătrat.

Dat fiind faptul că poziția de început a broaștei e aleatorie cu aceeași probabilitate pentru fiecare pătrat, și dat fiind faptul ca proprietara ei ascultă primele 15 orăcăituri ale broaștei, care e probabilitatea ca ea să audă secvența PPPPNNPPPNPPNPN ?

Introdu răspunsul ca fracție p/q simplificată.

Problema 330

27 Martie 2011
Un șir infinit de numere reale a(n) e definit pentru toate numerele întregi n în felul următor:

De exemplu,

a(0) =
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+ ... = e − 1
a(1) =
e − 1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+ ... = 2e − 3
a(2) =
2e − 3
1!
+
e − 1
2!
+
1
3!
+ ... =
7
2
e − 6
unde e = 2.7182818... e constanta lui Euler.

Se poate arăta că a(n) e de forma
A(n) e + B(n)
n!
pentru numerele întregi A(n) și B(n).
De exemplu: a(10) =
328161643 e − 652694486
10!
.

Găsește A(109) + B(109) mod 77 777 777.

Problema 332

10 Aprilie 2011

Un triunghi sferic e o figură geometrică formată pe suprafața unei sfere de către 3 arcuri de cerc mari; arcuri care se intersectează două-câte-două în 3 puncte.

Fie C(r) sfera cu centrul în punctul (0,0,0) și cu raza r.
Fie Z(r) mulțimea punctelor de pe suprafața lui C(r) care au drept coordonate numere întregi.
Fie T(r) mulțimea de triunghiuri sferice a căror colțuri se află în Z(r). Triunghiuri sferice degenerate, formate de 3 puncte de pe același arc de cerc mare, nu sunt incluse în T(r).
Fie A(r) aria celui mai mic triunghi sferic din T(r).

De exemplu, A(14) e 3.294040 rotunjit la 6 cifre fracționare.

Află A(r). Introdu răspunsul rotunjit la 6 cifre fracționare.

Problema 334

23 Aprilie 2011

Fie un șir infinit de castroane aranjate în linie dreaptă.
Fiecare castron conține fie 0, fie un număr finit de boabe.
Un copil se joacă un joc care permite un singur fel de mutare: îndepărtarea a 2 boabe din orice castron și punerea lor în cele 2 castroane adiacente.
Jocul se termină când fiecare castron conține fie un bob, fie nici un bob.

De exemplu, consideră 2 castroane cu 2, respectiv 3 boabe, toate celelalte castroane fiind goale. Următoarele 8 mutări ar sfârși jocul:

Este dat următorul șir:

t0 = 123456.
ti =
ti-1
2
, dacă ti-1 e par
ti-1
2
926252, dacă ti-1 e impar
unde ⌊x⌋ e funcția de rotunjire în jos
și e operatorul XOR aplicat bit-cu-bit.
bi = ( ti mod 211) + 1.

Primii 2 termeni ai ultimului șir sunt b1 = 289 și b2 = 145.
Dacă începem cu b1 și b2 boabe în 2 castroane adiacente, ar fi nevoie de 3419100 de mutări pentru a termina jocul.

Consideră 1500 de castroane adiacente care conțin b1, b2,..., b1500 boabe, toate celelalte castroane fiind goale. Află de câte mutări ar fi nevoie pentru a termina jocul.

Problema 335

23 Aprilie 2011

Oricând Peter e plictisit, el așează niște castroane, având fiecare un bob de fasole, în formă de cerc. După asta, ia toate boabele dintr-un castron oarecare și le așează unul câte unul în celelalte castroane, mergând în sensul acelor de ceas. El repetă asta, începând cu castronul în care a așezat ultima oară un bob, până când situația inițiala apare din nou. De exemplu, cu 5 castroane, el acționează în felul următor:

Deci dacă sunt 5 castroane, atunci Peter are nevoie de 15 mutări pentru a reveni la situația inițială.

Fie M(x) numărul de mutări necesare pentru a reveni la situația inițială, începând cu x castroane. Prin urmare, M(5) = 15. Se poate, de asemenea, verifica că M(100) = 10920.

Află M(2k+1). Introdu ca răspuns restul împărțirii sumei la 79.

Problema 337

07 Mai 2011

Fie {a1, a2,..., an} un șir de numere întregi de lungime n astfel încât:

  • a1 = 6
  • pentru toate valorile 1 ≤ i < n : φ(ai) < φ(ai+1) < ai < ai+1 1

Fie S(N) numărul de astfel de șiruri unde anN.
De exemplu, S(10) = 4: {6}, {6, 8}, {6, 8, 9} și {6, 10}.
Se poate verifica că S(100) = 482073668 și că restul împărțirii lui S(10 000) la 108 este 73808307.

Află restul împărțirii lui S(20 000 000) la 108.

1 φ reprezintă Indicativul lui Euler.

Problema 340

29 Mai 2011

Pentru numerele întregi a, b, c, fie funcția nebună F(n) definită în felul următor:
F(n) = n - c pentru toate numerele n > b
F(n) = F(a + F(a + F(a + F(a + n)))) pentru toate numerele n ≤ b.

Fie S(a, b, c) = .

De exemplu, dacă a = 50, b = 2000 și c = 40, atunci F(0) = 3240 și F(2000) = 2040.
De asemenea, S(50, 2000, 40) = 5204240.

Află ultimele 9 cifre ale numărului S(217, 721, 127).

Problema 341

05 Iunie 2011

Șirul auto-generat al lui Golomb {G(n)} e singurul șir non-descrescător de numere naturale astfel încât n apare de exact G(n) ori în șir. Valorile lui G(n) pentru primele câteva valori ale lui n sunt

n123456789101112131415
G(n)122334445556666

Este dat G(103) = 86, G(106) = 6137.
De asemenea, este dat că ΣG(n3) = 153506976 unde 1 ≤ n < 103.

Găsește ΣG(n3) unde 1 ≤ n < 106.

Problema 342

11 Iunie 2011

Consideră numarul 50.
502 = 2500 = 22 × 54, deci φ(2500) = 2 × 4 × 53 = 8 × 53 = 23 × 53. 1
Deci 2500 e un pătrat perfect și φ(2500) e un cub.

Găsește suma tuturor valorilor lui n, unde 1 < n < 1010 și φ(n2) e un cub.

1 φ reprezintă Indicativul lui Euler.

Problema 343

18 Iunie 2011

Pentru orice numar întreg pozitiv k, un șir finit ai de fracții xi/yi e definit ca:
a1 = 1/k si
ai = (xi-1+1)/(yi-1-1) in formă simplificată, unde i>1.
Când ai atinge un număr întreg n, șirul se oprește. (Adică, când yi=1.)
Fie f(k) = n.
De exemplu, pentru k = 20:

1/20 → 2/19 → 3/18 = 1/6 → 2/5 → 3/4 → 4/3 → 5/2 → 6/1 = 6

Deci f(20) = 6.

De asemenea, f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 1 și Σf(k3) = 118937 pentru 1 ≤ k ≤ 100.

Găsește Σf(k3) pentru 1 ≤ k ≤ 2×106.

Problema 346

03 Septembrie 2011

Numărul 7 e special pentru că 7 e scris ca 111 în baza 2 și 11 în baza 6
(adică 710 = 116 = 1112). Cu alte cuvine, 7 e un repunit în cel puțin 2 baze b > 1.

O să numim un număr întreg pozitiv cu această proprietate ca fiind un repunit puternic. Se poate observa că sunt 8 astfel de numere mai mici de 50: {1,7,13,15,21,31,40,43}.
Suma tuturor numerelor repunit puternice mai mici de 1000 e egală cu 15864.

Găsește suma tuturor numerelor repunit puternice mai mici de 1012.

Problema 347

03 Septembrie 2011

Cel mai mare număr întreg ≤ 100 care e divizibil doar cu numerele prime 2 și 3 e 96, deci 96=32*3=25*3. Pentru două numere prime distincte p și q, fie M(p,q,N) cel mai mare număr întreg pozitiv ≤N divizibil doar cu numerele p și q; M(p,q,N)=0 dacă un astfel de număr întreg pozitiv nu există.

De exemplu, M(2,3,100)=96.
M(3,5,100)=75, nu 90 pentru că 90 e divizibil cu 2, 3 și 5.
De asemenea, M(2,73,100)=0 pentru că nu există nici un număr întreg pozitiv ≤ 100 care e divizibil cu 2 și cu 73.

Fie S(N) suma tuturor numerelor M(p,q,N) distincte. S(100)=2262.

Află S(10 000 000).

Problema 348

03 Septembrie 2011

Multe numere pot fi scrise ca sumă dintre un pătrat și un cub. Unele din ele în mai multe feluri.

Consideră numerele palindromice care pot fi scrise ca sumă dintre un patrat și un cub, în exact 4 feluri diferite, unde atât pătratul cât și cubul sunt mai mari decât 1.
De exemplu, 5229225 e un număr palindromic și poate fi scris în exact 4 feluri:

22852 + 203
22232 + 663
18102 + 1253
11972 + 1563

Găsește suma celor mai mici 5 numere de acest fel.

Problema 349

03 Septembrie 2011

O furnică se mișca pe o matrice care conține pătrate colorate fie în negru, fie în alb.
Furnica e mereu orientată într-una din direcțiile cardinale (stânga, dreapta, sus, jos) și se mișcă de pe un pătrat pe unul din pătratele adiacente respectând următoarele reguli:
- daca e pe un pătrat negru, atunci va schimba culoarea pătratului în alb, se va roti 90 de grade în sens trigonometric și se va muta pe pătratul din fața ei.
- dacă e pe un pătrat alb, atunci va schimba culoarea pătratului în negru, se va roti 90 de grade în sensul acelor de ceas și se va muta pe pătratul din fața ei.

Începând cu o matrice care e în totalitate albă, câte pătrate vor fi negre după 1018 mutări ale furnicii ?

Problema 350

10 Septembrie 2011

O listă cu n numere e un șir cu n termeni naturali.
De exemplu: (2,4,6), (2,6,4), (10,6,15,6) și (11).

Cel mai mare divizor comun, sau cmmdc, al unei liste e cel mai mare număr natural care divide toate numerele din listă.
De exemplu: cmmdc(2,6,4) = 2, cmmdc(10,6,15,6) = 1 și cmmdc(11) = 11.

Cel mai mic multiplu comun, sau cmmmc, al unei liste e cel mai mic număr natural divizibil cu toate numerele din listă.
De exemplu: cmmmc(2,6,4) = 12, cmmmc(10,6,15,6) = 30 și cmmmc(11) = 11.

Fie f(G, L, N) numărul de liste cu N numere unde cmmdc ≥ G și cmmmc ≤ L. De exemplu:

f(10, 100, 1) = 91.
f(10, 100, 2) = 327.
f(10, 100, 3) = 1135.
f(10, 100, 1000) mod 1014 = 3286053.

Află f(106, 1012, 1018) mod 1014.

Problema 351

17 Septembrie 2011

O livadă hexagonală de ordin n e o structură triunghiulară compusă din puncte într-un hexagon regulat având laturile egale cu n. Următoarea figură e un exemplu de livadă hexagonală de ordin 5:


Punctele evidențiate cu verde sunt acele puncte care sunt ascunse de centru de către un punct mai aproapiat de centru. Se poate vedea că, pentru o livadă hexagonală de ordin 5, 30 de puncte sunt ascunse de centru.

Fie H(n) numărul de puncte ascunse de centru într-o livadă hexagonală de ordin n.

H(5) = 30. H(10) = 138. H(1 000) = 1177848.

Află H(100 000 000).

Problema 354

16 Octombrie 2011

Consideră fagurele de miere al unei albine, unde fiecare celulă e un hexagon perfect regulat cu lungimea laturii egală cu 1.

O anumită celulă este ocupată de către regină.
Pentru un număr real pozitiv L, fie B(L) numărul de celule aflate la distanța L față de celula reginei (toate distanțele sunt măsurate între centrele celulelor); poți presupune că fagurele e suficient de mare pentru a acomoda orice distanță dorită.
De exemplu, B(√3) = 6, B(√21) = 12 și B(111 111 111) = 54.

Găsește câte valori ale numărului L ≤ 5·1011 există, astfel încât B(L) = 450.

Problema 355

23 Octombrie 2011

Fie Co(n) suma maximă posibilă a unei submulțimi de numere luate din mulțimea {1, 2, ..., n}, unde toate numerele din submulțime sunt prime între ele.
De exemplu, Co(10) e 30 și atinge acest maxim în submulțimea {1, 5, 7, 8, 9}.

Este dat Co(30) = 193 și Co(100) = 1356.

Află Co(200000).

Problema 356

29 Octombrie 2011

Fie an cea mai mare rădăcina reală a polinomului g(x) = x3 - 2n·x2 + n.
De exemplu, a2 = 3.86619826...

Găsește ultimele 8 cifre ale sumei .

Notă: reprezintă a rotunjit în jos.

Problema 357

05 Noiembrie 2011

Consideră divizorii lui 30: 1,2,3,5,6,10,15,30.
Se poate observa că, pentru fiecare divizor d a lui 30, d+30/d e un număr prim.

Găsește suma tuturor numerelor naturale n care nu depașesc 100 000 000
astfel încât pentru fiecare divizor d al lui n, d+n/d e un număr prim.

Problema 360

27 Noiembrie 2011

Sunt date două puncte (x1,y1,z1) și (x2,y2,z2) in spațiul tridiminensional; distanța Manhattan între aceste două puncte e definită ca
|x1-x2|+|y1-y2|+|z1-z2|.

Fie C(r) o sferă de rază r și centrul în origine O(0,0,0).
Fie I(r) mulțimea tuturor punctelor de pe suprafața lui C(r) având coordonatele numere întregi.
Fie S(r) suma distanțelor Manhattan între fiecare element din I(r) și originea O.

De exemplu S(45)=34518.

Află S(1010).

Problema 361

04 Decembrie 2011

Șirul Thue-Morse {Tn} e un șir binar care satisface:

  • T0 = 0
  • T2n = Tn
  • T2n+1 = 1 - Tn

Primii câțiva termeni ai lui {Tn} sunt:
01101001100101101001011001101001....

Fie {An} șirul de numere întregi sortate astfel încât reprezentarea lor binară apare ca subșir in {Tn}.
De exemplu, numărul zecimal 18 e scris 10010 în baza 2. 10010 apare în {Tn} (de la T8 la T12), deci 18 e un termen al șirului {An}.
Numărul zecimal 14 e scris 1110 în baza 2. 1110 nu apare deloc în {Tn}, deci 14 nu e un termen al șirului {An}.

Primii câțiva termeni ai șirului An sunt:

n0123456789101112
An012345691011121318

Se poate verifica că A100 = 3251 și ca A1000 = 80852364498.

Găsește ultimele 9 cifre ale sumei .

Problema 364

24 Decembrie 2011

Sunt N scaune într-un rând. N oameni vin pe rând pentru a le ocupa respectând următoarele reguli:

  1. Dacă există un scaun care are doua scaune adiacente libere, ocupă acel scaun.
  2. Daca nu există un astfel de scaun dar există un scaun cu un singur scaun adiacent liber, ocupă acel scaun.
  3. Altfel, ocupă unul din scaunele libere.
Fie T(N) numărul de posibilități ca N scaune să fie ocupate de N oameni respectând regulile date.
Următoarea figură ilustrează situația T(4)=8.

Se poate verifica că T(10) = 61632 si T(1 000) mod 100 000 007 e egal cu 47255094.

Află T(1 000 000) mod 100 000 007.

Problema 365

31 Decembrie 2011

Coeficientul binomial C(1018,109) e un număr cu peste 9 miliarde (9×109) de cifre.

Fie M(n,k,m) coeficientul binomial C(n,k) modulo m.

Calculează ∑M(1018,109,p*q*r) unde 1000<p<q<r<5000 sunt numere prime.

Problema 368

22 Ianuarie 2012

Seria harmonică 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ ... e binecunoscută ca fiind divergentă.

Totuși, dacă omitem din această serie toți termenii ai căror numitor conține cifra 9, atunci seria converge la aproximativ 22.9206766193.
Această serie harmonică modificată se numește seria Kempner.

Să considerăm acum o altă serie harmonică modificată, de data aceasta prin omiterea termenilor care conțin la numitor 3 sau mai multe cifre consecutive egale. Se poate verifica că, din primii 1200 de termeni ai seriei, doar 20 o să fie omiși.
Cei 20 de termeni omiși sunt:

1
111
,
1
222
,
1
333
,
1
444
,
1
555
,
1
666
,
1
777
,
1
888
,
1
999
,
1
1000
,
1
1110
,
1
1111
,
1
1112
,
1
1113
,
1
1114
,
1
1115
,
1
1116
,
1
1117
,
1
1118
and
1
1119
.

Și această serie e convergentă.

Găsește valoarea la care converge această serie.
Introdu răspunsul cu partea fracționară rotunjită la 10 cifre.

Problema 369

29 Ianuarie 2012

Într-un pachet de cărți standard de 52 de cărți, un set de 4 cărti e un Badugi dacă nu conține nici o pereche și nu există 2 cărți de aceeași culoare.

Fie f(n) numărul de moduri în care poți alege n cărți, o submulțime de 4 cărți ale acestora formând un Badugi. De exemplu, sunt 2598960 de feluri în care poți alege 5 cărți dintr-un pachet de 52 de cărți; 514800 din acestea conțin o submulțime de 4 cărți care formează un Badugi. Deci f(5) = 514800.

Află ∑f(n) unde 4 ≤ n ≤ 13.

Problema 370

05 Februarie 2012

Fie triunghiul geometric un triunghi cu lungimile laturilor abc numere întregi; aceste lungimi formează o progresie geometrică, adică b2 = a · c . 

Un exemplu de astfel de triunghi geometric e triunghiul cu laturile a = 144, b = 156 și c = 169.

Sunt 861805 de triunghiuri geometrice cu perimetrul ≤ 106 .

Câte triunghiuri geometrice există cu perimetrul ≤ 2.5·1013 ?

Problema 371

12 Februarie 2012

Numerele de înmatriculare din Oregon sunt formate din 3 litere ale alfabetului englez urmate de un număr de 3 cifre (fiecare cifră poate fi in intervalul [0..9]).
În timp ce conduce spre muncă, Seth se joacă următorul joc:
Când numerele de pe două numere de înmatriculare care le vede au suma 1000, ăsta e un câștig.

De exemplu, MIC-012 și HAN-988 e un câștig și RYU-500 și SET-500 e de asemenea un câștig. (atâta timp cât le vede în timpul aceleiași călătorii).

Află câte numere de înmatriculare se așteaptă să vadă pentru a avea un câștig.
Introdu răaspunsul rotunjit la 8 cifre fracționare.

Notă: Presupunem că fiecare număr de înmatriculare văzut are aceeași șansă să aibă oricare 3 cifre în el.

Problema 372

18 Februarie 2012

Fie R(M, N) numărul de puncte distribuite uniform (x, y) care satisfac M<xN, M<yN, unde e un număr impar.
Se poate verifica că R(0, 100) = 3019 și R(100, 10000) = 29750422.
Află R(2·106, 109).

Notă: reprezintă rotunjirea în jos al lui x.

Problema 373

25 Februarie 2012

Fiecare triunghi are un cerc circumscris care merge prin toate cele 3 colțuri ale sale. Consideră toate triunghiurile având lungimile laturilor numere întregi și a căror cerc circumscris are de asemenea ca rază un număr întreg.

Fie S(n) suma razelor cercurilor circumscrise tuturor acestor triunghiuri, unde raza fiecărui cerc nu depășește n.

S(100)=4950 și S(1200)=1653605.

Află S(107).

Problema 377

25 Martie 2012

Sunt 16 numere naturale care nu au nici un zero printre cifrele lor și a căror sumă a cifrelor e 5, mai exact:
5, 14, 23, 32, 41, 113, 122, 131, 212, 221, 311, 1112, 1121, 1211, 2111 și 11111.
Suma lor e 17891.

Fie f(n) suma tuturor numerelor naturale care nu au nici un zero printre cifrele lor și a căror sumă a cifrelor e n.

Găsește .
Introdu ultimele 9 cifre ca răspuns.

Problema 378

01 Aprilie 2012

Fie T(n) al nlea număr triunghiular, deci T(n) =
n (n+1)
2
.

Fie dT(n) numărul de divizori ai lui T(n).
De exemplu: T(7) = 28 și dT(7) = 6.

Fie Tr(n) numărul de triplete (i, j, k) astfel încât 1 ≤ i < j < k ≤ n si dT(i) > dT(j) > dT(k).
Tr(20) = 14, Tr(100) = 5772 și Tr(1000) = 11174776.

Află Tr(60 000 000).
Introdu ca răspuns ultimele 18 cifre ale rezultatului.

Problema 379

08 Aprilie 2012

Fie f(n) numărul de perechi (x,y) unde x și y sunt numere întregi pozitive, xy iar cel mai mic multiplu comun al lui x și y e egal cu n.

Fie g funcția sumatoare a lui f, adică: g(n) = ∑ f(i) unde 1 ≤ in.

Îți este dat că g(106) = 37429395.

Află g(1012).

Problema 381

21 Aprilie 2012

Pentru un număr prim p, fie S(p) = (∑(p-k)!) mod(p), unde 1 ≤ k ≤ 5.

De exemplu, dacă p=7,
(7-1)! + (7-2)! + (7-3)! + (7-4)! + (7-5)! = 6! + 5! + 4! + 3! + 2! = 720+120+24+6+2 = 872.
Cum 872 mod(7) = 4, rezultă S(7) = 4.

Se poate verifica că ∑S(p) = 480, unde 5 ≤ p < 100.

Află ∑S(p), unde 5 ≤ p < 108.

Problema 383

05 Mai 2012

Fie f5(n) cel mai mare număr întreg x pentru care 5x divide n.
De exemplu, f5(625000) = 7.

Fie T5(n) numărul de numere întregi i care satisfac f5((2·i-1)!) < 2·f5(i!) și 1 ≤ in.
Se poate verifica că T5(103) = 68 și T5(109) = 2408210.

Află T5(1018).

Problema 390

23 Iunie 2012

Consideră triunghiul cu laturile √5, √65 și √68. Se poate arăta că acest triunghi are aria egală cu 9.

S(n) e suma ariilor tuturor triunghiurilor cu laturile √(1+b2), √(1+c2) și √(b2+c2) (b și c sunt numere întregi pozitive), unde ariile sunt un număr întreg care nu depășește n.

Triunghiul din exemplu are b=2 și c=8.

S(106)=18018206.

Află S(1010).

Problema 393

08 Septembrie 2012

O matrice de dimensiune n×n conține pătrate cu n2 furnici, câte o furnică pe fiecare pătrat.
Toate furnicile decid să se miște simultan către un pătrat adiacent (de obicei sunt 4 posibilități, cu excepția furnicilor care se află pe margini sau pe colțuri).
Definim f(n) ca fiind numărul de posibilități în care aceste mutări se pot face fără ca vreo furnică să ajungă pe același pătrat și fără ca 2 furnici să traverseze aceeași graniță între pătrate.

Îți este dat că f(4) = 88.
Află f(10).

Problema 395

22 Septembrie 2012

Arborele Pitagorean e un fractal obținut prin executarea următorilor pași:

Începe cu un pătrat unitar (lungimea laturii sale e egală cu 1). Apoi, considerând una din laturile sale baza (în animația de mai jos, latura de jos e baza):

  1. Atașează un triunghi dreptunghic laturii opuse bazei, astfel încât ipotenuza acestui triunghi va coincide cu acea latura și raportul laturilor va fi 3-4-5. Ține minte că latura cea mică a triunghiului trebuie să fie pe partea 'dreaptă' în raport cu baza (vezi animația).
  2. Atașează un pătrat fiecărei catete a triunghiului dreptunghic astfel încât acea catetă devine latura pătratului atașat.
  3. Repetă această procedură pentru ambele pătrate atașate, considerând ca baze acele laturi care ating triunghiul.
Figura care rezultă, după un număr infinit de iterații, e arborele Pitagorean.

Se poate arăta că există cel puțin un dreptunghi a cărui laturi sunt paralele cu cel mai mare pătrat al arborelui Pitagorean și care conține în interiorul său întregul arbore Pitagorean.

Găsește cea mai mica arie posibilă a unui astfel de dreptunghi și introdu răspunsul rotunjit la 10 cifre fracționare.

Problema 397

07 Octombrie 2012

Pe parabola y = x2/k sunt alese 3 puncte: A(a, a2/k), B(b, b2/k) și C(c, c2/k).

Fie F(K, X) numărul de cvadrupli întregi (k, a, b, c) astfel încât cel puțin un unghi al triunghiului ABC are 45 de grade, unde 1 ≤ kK și -Xa < b < cX.

De exemplu, F(1, 10) = 41 și F(10, 100) = 12492.
Află F(106, 109).

Problema 398

14 Octombrie 2012

Pe o funie de lungime n sunt amplasate n-1 puncte la o distanță de 1 între ele și la aceeași distanță de 1 față de capete. De-a lungul acestor puncte, alegem m-1 puncte aleatorii și tăiem funia în aceste puncte pentru a avea m segmente.

Fie E(n, m) lungimea așteptată a celui de-al doilea cel mai scurt segment.
De exemplu, E(3, 2) = 2 și E(8, 3) = 16/7.
Ține cont că, dacă mai multe segmente au aceeași lungime cea mai scurtă, atunci lungimea celui de-al doilea cel mai scurt segment e la fel ca lungimea celui mai scurt segment.

Află E(107, 100).
Introdu răspunsul rotunjit la 5 cifre după punctul zecimal.

Problema 400

27 Octombrie 2012

Un arbore Fibonacci e un arbore binar definit recursiv în felul următor:

  • T(0) e arborele vid.
  • T(1) e arborele binar cu un singur nod.
  • T(k) constă dintr-un nod rădăcină care are nodurile T(k-1) și T(k-2) drept fii.

Pe un astfel de arbore, 2 jucători joacă un joc de preluare. În fiecare rundă, un jucător alege un nod și îl îndepărtează împreună cu subarborele care are rădăcina în acel nod.
Jucătorul care e forțat să îndepărteze rădăcina întregului arbore pierde.

Aici sunt mutările primului jucător în prima runda pentru T(k) unde k ia valori de la 1 la 6.

Fie f(k) numărul de mutări câștigătoare ale primului jucător (adică mutările pentru care al doilea jucător nu are nici o strategie câștigătoare) în prima runda a jocului, atunci când jocul se joacă cu arborele T(k).

De exemplu, f(5) = 1 și f(10) = 17.

Află f(10000). Introdu ultimele 18 cifre ca răspuns.

Problema 401

10 Noiembrie 2012

Divizorii lui 6 sunt 1,2,3 și 6.
Suma acestor numere ridicate la pătrat e 1+4+9+36=50.

Fie sigma2(n) suma divizorilor lui n ridicați la pătrat. Prin urmare, sigma2(6)=50.

Fie SIGMA2 funcția sumatoare a lui sigma2, adică SIGMA2(n)=∑sigma2(i) unde i ia valori de la 1 la n.
Primele 6 valori ale funcției SIGMA2 sunt: 1,6,16,37,63 și 113.

Află SIGMA2(1015) modulo 109.

Problema 402

17 Noiembrie 2012

Se poate arăta că valoarea polinomului n4 + 4n3 + 2n2 + 5n e un multiplu al lui 6 pentru orice valoare întreagă a lui n. De asemenea, se poate arăta că 6 e cel mai mare număr întreg care satisface această proprietate.

Fie M(a, b, c) cea mai mare valoare a lui m astfel încât n4 + an3 + bn2 + cn e un multiplu al lui m pentru toate valorile întregi ale lui n. De exemplu, M(4, 2, 5) = 6.

De asemenea, fie S(N) suma valorilor lui M(a, b, c) pentru toate valorile 0 < a, b, cN.

Se poate verifica că S(10) = 1972 și S(10000) = 2024258331114.

Fie Fk șirul lui Fibonacci:
F0 = 0, F1 = 1 și
Fk = Fk-1 + Fk-2, unde k ≥ 2.

Găsește ultimele 9 cifre ale sumei Σ S(Fk), unde 2 ≤ k ≤ 1234567890123.

Problema 403

24 Noiembrie 2012

Pentru numerele întregi a și b, definim D(a, b) ca fiind domeniul cuprins între parabola y = x2 și dreapta y = a·x + b:
D(a, b) = { (x, y) | x2ya·x + b }.

L(a, b) e numărul de puncte conținute în D(a, b) care au drept coordonate numere întregi.
De exemplu, L(1, 2) = 8 și L(2, -1) = 1.

De asemenea, definim S(N) ca fiind suma valorilor lui L(a, b) pentru toate perechile de numere (a, b) astfel încât aria lui D(a, b) e un număr rațional și |a|,|b| ≤ N.
Se poate verifica că S(5) = 344 și S(100) = 26709528.

Găsește S(1012). Introdu ca răspuns restul împărțirii rezultatului la 108.

Problema 404

02 Decembrie 2012

Ea e o elipsă cu ecuația de forma x2 + 4y2 = 4a2.
Ea' e rotația lui Ea cu θ grade în sens trigonometric în jurul originii O(0, 0), unde 0° < θ < 90°.

b e distanța până la origine a celor două puncte de intersecție care sunt cele mai apropiate de origine și c e distanța celorlalte două puncte de intersecție.
O să spunem că tripletul ordonat (a, b, c) e un triplet elipsoidal canonic dacă a, b si c sunt numere întregi pozitive.
De exemplu, (209, 247, 286) e un triplet elipsoidal canonic.

Fie C(N) numărul de triplete elipsoidale canonice (a, b, c) distincte pentru aN.
Se poate verifica că C(103) = 7, C(104) = 106 și C(106) = 11845.

Află C(1017).

Problema 405

09 Decembrie 2012

Se vrea împărțirea unui dreptunghi în dreptunghiuri mai mici. Acest dreptunghi are lungimea de 2 ori mai mare decât lățimea.
Fie T(0) împărțirea a exact 1 astfel de dreptunghi.
Pentru n > 0, T(n) e obținut din T(n-1) prin înlocuirea lui cu dreptunghiuri mai mici ca în figura de mai jos:

Următoarea animație demonstrează aceste înlocuiri ale lui T(n) pentru valori ale lui n de la 0 la 5:

Fie f(n) numărul de puncte din T(n) unde 4 plăci se întâlnesc.
De exemplu, f(1) = 0, f(4) = 82 și f(109) mod 177 = 126897180.

Găsește f(10k) pentru k = 1018 și introdu ca răspuns restul împărțirii rezultatului la 177.

Problema 407

23 Decembrie 2012

Dacă calculăm a2 mod 6 pentru 0 ≤ a ≤ 5 obținem: 0,1,4,3,4,1.

Cea mai mare valoare a lui a astfel încât a2a mod 6 e 4.
Fie M(n) cea mai mare valoare a lui a < n astfel încât a2a (mod n).
Deci M(6) = 4.

Găsește ∑M(n) pentru 1 ≤ n ≤ 107.

Problema 408

29 Decembrie 2012

O să numim un punct (x, y) inadmisibil dacă numerele întregi x, y și x + y sunt toate pătrate perfecte pozitive.
De exemplu, (9, 16) e inadmisibil, în timp ce punctele (0, 4), (3, 1) și (9, 4) nu sunt.

Fie o cale de la punctul (x1, y1) la punctul (x2, y2) folosind doar pași unitari spre nord sau est.
O să numim o astfel de cale admisibilă dacă nici unul din punctele prin care trece nu e inadmisibil.

Fie P(n) numărul de căi admisibile de la (0, 0) la (n, n).
Se poate verifica că P(5) = 252, P(16) = 596994440 și P(1000) mod 1 000 000 007 = 341920854.

Găsește P(10 000 000) mod 1 000 000 007.

Problema 410

12 Ianuarie 2013

Fie C cercul de rază r, x2 + y2 = r2. Alegem 2 puncte P(a, b) și Q(-a, c) astfel încât dreapta care trece prin P și Q să fie tangentă la C.

De exemplu, cvadrupletul (r, a, b, c) = (2, 6, 2, -7) satisface această proprietate.

Fie F(R, X) numărul de cvadrupleți (r, a, b, c) compuși din numere întregi care au această proprietate, unde 0 < rR și 0 < aX.

Se poate verifica că F(1, 5) = 10, F(2, 10) = 52 și F(10, 100) = 3384.
Găsește F(108, 109) + F(109, 108).

Problema 412

27 Ianuarie 2013

Pentru numerele întregi m, n (0 ≤ n < m), fie L(mn) o matrice de dimensiune m×m a cărei colț de dreapta-su de dimensiune n×n este îndepărtat.

De exemplu, L(5, 3) arată așa:

Vrem să umplem fiecare celulă a matricii L(mn) cu numere consecutive 1, 2, 3, ... astfel încât numărul din fiecare celulă e mai mic decât cel de sub el și decât cel din stânga lui.

De exemplu, aici sunt 2 astfel de configurații valide pentru L(5, 3):

Fie LC(m, n) numărul de configurații valide aplicate matricii L(m, n).
Se poate verifica că LC(3, 0) = 42, LC(5, 3) = 250250, LC(6, 3) = 406029023400 și LC(10, 5) mod 76543217 = 61251715.

Găsește LC(10000, 5000) mod 76543217.

Problema 413

03 Februarie 2013

O să zicem că un număr pozitiv de d cifre (fără zerouri în față) e un număr cu 1 singur fiu dacă exact unul din subșirurile sale e divizibil cu d.

De exemplu, 5671 e un număr de 4 cifre cu 1 singur fiu. Dintre toate subșirurile sale 5, 6, 7, 1, 56, 67, 71, 567, 671 și 5671, doar 56 e divizibil cu 4.
În mod similar, 104 e un număr de 3 cifre cu 1 singur fiu pentru că doar 0 e divizibil cu 3.
1132451 e un număr de 7 cifre cu 1 singur fiu pentru că doar 245 e divizibil cu 7.

Fie F(N) numărul de numere mai mici decât N care au 1 singur fiu.
Se poate verifica că F(10) = 9, F(103) = 389 și F(107) = 277674.

Găsește F(1019).