RSS Feed
Precedenta
Următoarea

Problema 65

12 Martie 2004

Convergenți ai lui e


Rădăcina pătrată a lui 2 poate fi scrisă ca o fracție continuă care merge la infinit.

√2 = 1 +
1

  2 +
1

    2 +
1

      2 +
1

        2 + ...

Fracția continuă infinită poate fi scrisă, √2 = [1;(2)], (2) indică că 2 se repetă la infinit. În mod similar, √23 = [4;(1,3,1,8)].

Se pare că șirul de valori parțiale a fracțiilor continue pentru rădăcinile pătrate oferă cele mai bune aproximări raționale ale acestora. Să considerăm convergenții pentru √2.

1 +
1

= 3/2
 
2
 
1 +
1

= 7/5
  2 +
1

   
2
 
1 +
1

= 17/12
  2 +
1

 
    2 +
1

 
     
2
 
1 +
1

= 41/29
  2 +
1

    2 +
1

 
      2 +
1

 
       
2
 

Prin urmare, primii 10 termeni din șirul convergenților pentru √2 sunt:

1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378, ...

Cel mai surprinzător e că constanta matematică,
e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 , ... , 1,2k,1, ...].

Primii 10 termeni ai șirului de convergenți pentru e sunt:

2, 3, 8/3, 11/4, 19/7, 87/32, 106/39, 193/71, 1264/465, 1457/536, ...

Suma cifrelor numărătorului celui de-al 10lea convergent e 1+4+5+7=17.

Găsește suma cifrelor numărătorului celui de-al 100lea convergent al fracției continue pentru e.


Tag-uri:

>> Vezi problema originală <<