RSS Feed
Precedenta
Următoarea

Problema 64

27 Februarie 2004

Rădăcini pătrate cu perioade impare


Toate rădăcinile pătrate sunt periodice atunci când sunt scrise ca fracții continue, ele pot fi scrise în următorul fel:

N = a0 +
1
  a1 +
1
    a2 +
1
      a3 + ...

De exemplu, să considerăm √23:

√23 = 4 + √23 — 4 = 4 + 
1
 = 4 + 
1
 
1
√23—4
  1 + 
√23 – 3
7

Dacă continuăm, o să obținem următoarea dezvoltare:

√23 = 4 +
1
  1 +
1
    3 +
1
      1 +
1
        8 + ...

Acest proces poate fi rezumat în felul următor:

a0 = 4,  
1
√23—4
 = 
√23+4
7
 = 1 + 
√23—3
7
a1 = 1,  
7
√23—3
 = 
7(√23+3)
14
 = 3 + 
√23—3
2
a2 = 3,  
2
√23—3
 = 
2(√23+3)
14
 = 1 + 
√23—4
7
a3 = 1,  
7
√23—4
 = 
7(√23+4)
7
 = 8 +  √23—4
a4 = 8,  
1
√23—4
 = 
√23+4
7
 = 1 + 
√23—3
7
a5 = 1,  
7
√23—3
 = 
7(√23+3)
14
 = 3 + 
√23—3
2
a6 = 3,  
2
√23—3
 = 
2(√23+3)
14
 = 1 + 
√23—4
7
a7 = 1,  
7
√23—4
 = 
7(√23+4)
7
 = 8 +  √23—4

Se poate vedea că secvența e repetitivă. Pentru a fi conciși, o să folosim notația √23 = [4;(1,3,1,8)], pentru a indica că blocul (1,3,1,8) se repetă la infinit.

Primele 10 reprezentații ale fracțiilor continue ale rădăcinilor pătrate iraționale sunt:

√2=[1;(2)], perioada=1
√3=[1;(1,2)], perioada=2
√5=[2;(4)], perioada=1
√6=[2;(2,4)], perioada=2
√7=[2;(1,1,1,4)], perioada=4
√8=[2;(1,4)], perioada=2
√10=[3;(6)], perioada=1
√11=[3;(3,6)], perioada=2
√12= [3;(2,6)], perioada=2
√13=[3;(1,1,1,1,6)], perioada=5

Exact 4 fracții continue, pentru N ≤ 13, au perioada impară.

Câte fracții continue pentru N ≤ 10000 au perioada impară ?


Tag-uri:

>> Vezi problema originală <<