RSS Feed
Precedenta
Următoarea

Problema 57

21 Noiembrie 2003

Convergența rădăcinilor pătrate


Se poate demonstra că radicalul lui 2 se poate exprima ca o fracție continuă infinită.

√ 2 = 1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + ... ))) = 1.414213...

Dezvoltând pentru primele 4 iterații, obținem:

1 + 1/2 = 3/2 = 1.5
1 + 1/(2 + 1/2) = 7/5 = 1.4
1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2)) = 17/12 = 1.41666...
1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2))) = 41/29 = 1.41379...

Următoarele 3 dezvoltări sunt 99/70, 239/169 și 577/408, dar a opta dezvoltare, 1393/985, e primul exemplu unde numărul de cifre din numărător depășește numărul de cifre din numitor.

În primele o mie de dezvoltări, câte fracții au un numărător cu mai multe cifre decât numitorul ?


Tag-uri:

>> Vezi problema originală <<