RSS Feed

Problema 395

22 Septembrie 2012

Arborele Pitagorean


Arborele Pitagorean e un fractal obținut prin executarea următorilor pași:

Începe cu un pătrat unitar (lungimea laturii sale e egală cu 1). Apoi, considerând una din laturile sale baza (în animația de mai jos, latura de jos e baza):

  1. Atașează un triunghi dreptunghic laturii opuse bazei, astfel încât ipotenuza acestui triunghi va coincide cu acea latura și raportul laturilor va fi 3-4-5. Ține minte că latura cea mică a triunghiului trebuie să fie pe partea 'dreaptă' în raport cu baza (vezi animația).
  2. Atașează un pătrat fiecărei catete a triunghiului dreptunghic astfel încât acea catetă devine latura pătratului atașat.
  3. Repetă această procedură pentru ambele pătrate atașate, considerând ca baze acele laturi care ating triunghiul.
Figura care rezultă, după un număr infinit de iterații, e arborele Pitagorean.

Se poate arăta că există cel puțin un dreptunghi a cărui laturi sunt paralele cu cel mai mare pătrat al arborelui Pitagorean și care conține în interiorul său întregul arbore Pitagorean.

Găsește cea mai mica arie posibilă a unui astfel de dreptunghi și introdu răspunsul rotunjit la 10 cifre fracționare.


>> Vezi problema originală <<