RSS Feed
Precedenta
Următoarea

Problema 318

01 Ianuarie 2011

Cifra 9 de 2011 ori


Consideră numărul real √2+√3.
Când calculăm puterile pare ale numărului √2+√3 obținem:
(√2+√3)2 = 9.898979485566356...
(√2+√3)4 = 97.98979485566356...
(√2+√3)6 = 969.998969071069263...
(√2+√3)8 = 9601.99989585502907...
(√2+√3)10 = 95049.999989479221...
(√2+√3)12 = 940897.9999989371855...
(√2+√3)14 = 9313929.99999989263...
(√2+√3)16 = 92198401.99999998915...

Se pare că numărul de cifre de 9 consecutive de la începutul părții fracționare a acestor puteri e ne-descrescător.
De fapt, se poate demonstra că partea fracționară a numărului (√2+√3)2n se apropie de 1 pentru valori mari ale lui n.

Consideră toate numerele reale de forma √p+√q, unde p<q sunt numere întregi pozitive, astfel încât partea fracționară a numărului (√p+√q)2n se apropie de 1 pentru valori mari ale lui n.

Fie C(p,q,n) numărul de cifre de 9 consecutive de la începutul părții fracționare a numărului
(√p+√q)2n.

Fie N(p,q) valoarea minimă a lui n astfel încât C(p,q,n) ≥ 2011.

Află ∑N(p,q) pentru p+q ≤ 2011.


>> Vezi problema originală <<