RSS Feed
Următoarea

Problema 316

25 Decembrie 2010

Numere în dezvoltări decimale


Fie p = p1 p2 p3 ... un șir infinit de cifre aleatorii selectate cu aceeași probabilitate din mulțimea {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Se poate vedea că p corespunde cu numărul real 0.p1 p2 p3 ....
Se mai poate vedea că, alegând un număr real aleatoriu din intervalul [0,1), e echivalent cu alegerea unui șir infinit de cifre aleatorii selectate cu aceeași probabilitate din mulțimea {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Pentru orice număr întreg pozitiv n cu d cifre, fie k cel mai mic index astfel încât
pk, pk+1, ...pk+d-1 sunt cifrele lui n, în ordinea dată.
Fie g(n) valoarea așteptată a lui k; se poate demonstra că g(n) e întotdeauna finit și, în mod interesant, e întotdeauna un număr întreg.

De exemplu, dacă n = 535, atunci
pentru p = 31415926535897...., obținem k = 9
pentru p = 355287143650049560000490848764084685354..., obținem k = 36
etc și descoperim că g(535) = 1008.

Dacă , găsește

Notă: reprezintă funcția rotunjirii în jos.

>> Vezi problema originală <<