RSS Feed
Precedenta

Problema 299

03 Iulie 2010

Trei triunghiuri asemănătoare


Patru puncte cu coordonate numere întregi sunt selectate:
A(a, 0), B(b, 0), C(0, c) și D(0, d), unde 0 < a < b și 0 < c < d.
Punctul P, de asemenea cu coordonate numere întregi, e ales pe linia AC astfel încât cele 3 triunghiuri ABP, CPD și PBD sunt asemănătoare.

E ușor de demonstrat că cele 3 triunghiuri pot fi similare doar dacă a=c.

Prin urmare, dat fiind faptul că a=c, căutăm triplete (a,b,d) astfel încât cel puțin un punct P (cu coordonate numere întregi) să existe pe AC, făcând ca cele 3 triunghiuri ABP, CDP și BDP să fie asemănătoare.

De exemplu, dacă (a,b,d)=(2,3,4), se poate verifica cu ușurință că punctul P(1,1) satisface condiția de mai sus. Ține cont că tripletele (2,3,4) și (2,4,3) sunt considerate a fi distincte, chiar dacă punctul P(1,1) e comun pentru amândouă.

Dacă b+d < 100, sunt 92 de triplete (a,b,d) distincte, astfel încât punctul P există.
Dacă b+d < 100 000, sunt 320471 de triplete (a,b,d) distincte, astfel încât punctul P există.

Dacă b+d < 100 000 000, câte triplete (a,b,d) există, astfel încât punctul P există ?


>> Vezi problema originală <<