RSS Feed
Precedenta
Următoarea

Problema 295

05 Iunie 2010

Găuri în formă de lentilă


Numim aria convexă cuprinsă între 2 cercuri o gaură lenticulară dacă:

  • Centrele ambelor cercuri au drept coordonate numere întregi.
  • Cele 2 cercuri se intersectează în 2 puncte distincte care au drept coordonate numere întregi.
  • Interiorul ariei convexe cuprinse între cele 2 cercuri nu conține nici un punct care are drept coordonate numere întregi.

Consideră cercurile:
C0: x2+y2=25
C1: (x+4)2+(y-4)2=1
C2: (x-12)2+(y-4)2=65

Cercurile C0, C1 și C2 sunt ilustrate în imaginea de mai jos.

C0 și C1 formează o gaură lenticulară, la fel și cercurile C0 și C2.

Vom numi o pereche ordonată de numere reale pozitive (r1, r2) o pereche lenticulară dacă există 2 cercuri cu razele r1 și r2 care formează o gaură lenticulară. Se poate verifica că (1, 5) și (5, √65) sunt perechile lenticulare ale exemplului de mai sus.

Fie L(N) numărul de perechi lenticulare (r1, r2) distincte pentru care 0 < r1 ≤ r2 ≤ N.
Se poate verifica că L(10) = 30 și L(100) = 3442.

Găsește L(100 000).


>> Vezi problema originală <<