RSS Feed
Precedenta
Următoarea

Problema 153

05 Mai 2007

Investighează numere Gaussian


După cum știm cu toții, ecuația x2=-1 nu are soluții reale.
Totuși, dacă introducem numărul imaginar i, această ecuație are două soluții: x=i și x=-i.
Dacă dezvoltăm această idee, ecuația (x-3)2=-4 are două soluții complexe: x=3+2i și x=3-2i.
x=3+2i e conjugata complexă a lui x=3-2i și vice versa.
Numerele de forma a+bi se numesc numere complexe.
În general, a+bi e conjugata complexă a lui abi și vice versa.

Un număr întreg de tip Gaussian e un număr complex a+bi unde a și b sunt numere întregi.
Numerele întregi obișnuite sunt de asemenea numere întregi de tip Gaussian (unde b=0).
Pentru a le deosebi de numerele întregi de tip Gaussian cu b ≠ 0, astfel de numere se numesc "numere întregi raționale."
Un număr întreg de tip Gaussian e un divizor al unui număr întreg rațional n dacă rezultatul e de asemenea un număr întreg de tip Gaussian.
De exemplu, dacă împărțim 5 la 1+2i putem simplifica în următorul fel:
Înmulțim numărătorul și numitorul cu conjugata complexă a lui of 1+2i: 1−2i.
Rezultatul e .
Deci 1+2i e un divizor al lui 5.
Ține cont că 1+i nu e un divizor al lui 5 pentru că .
De asemenea, ține minte că, dacă numărul întreg de tip Gaussian (a+bi) e un divizor al numărului întreg rațional n, atunci și conjugata lui complexă (abi) e un divizor al lui n.

De fapt, 5 are 6 divizori a căror parte reală e pozitivă: {1, 1 + 2i, 1 − 2i, 2 + i, 2 − i, 5}.
Următorul tabel conține toți divizorii primelor 5 numere întregi raționale mai mari decât 0:

n Divizori întregi de tip Gaussian
a căror parte reală e pozitivă
Suma s(n) a
acestor divizori
111
21, 1+i, 1-i, 25
31, 34
41, 1+i, 1-i, 2, 2+2i, 2-2i,413
51, 1+2i, 1-2i, 2+i, 2-i, 512

Atunci, pentru divizori care au partea reală pozitivă, avem: .

Pentru 1 ≤ n ≤ 105, ∑ s(n)=17924657155.

Cât e ∑ s(n) pentru 1 ≤ n ≤ 108?


>> Vezi problema originală <<