RSS Feed
Precedenta

Problema 143

02 Martie 2007

Investigarea punctului Torricelli al unui triunghi


Fie ABC un triunghi a cărui unghiuri au fiecare mai puțin de 120 de grade. Fie X orice punct în interiorul triunghiului și fie XA = p, XC = q și XB = r.

Fermat l-a provocat pe Torricelli să găsească poziția lui X astfel încât p + q + r are valoare minimă.

Torricelli a reușit să demonstreze că, dacă triunghiurile echilaterale AOB, BNC și AMC sunt construite pe fiecare latură a triunghiului ABC, atunci cercurile circumscrise triunghiurilor AOB, BNC și AMC se vor intersecta într-un singur punct, T, în interiorul triunghiului. Mai mult decât atât, el a demonstrat că T, numit punctul Fermat/Torricelli, minimizează p + q + r. Și mai remarcabil de atât, se poate arăta că, atunci când suma e minimizată, AN = BM = CO = p + q + r și dreptele AN, BM și CO se intersectează de asemenea în T.

Dacă suma e minimizată și a, b, c, p, q și r sunt toate numere întregi pozitive, o să numim triunghiul ABC un triunghi Torricelli. De exemplu, a = 399, b = 455, c = 511 e un exemplu de triunghi Torricelli, unde p + q + r = 784.

Găsește suma tuturor valorilor distincte ale numărului p + q + r ≤ 120000 pentru triunghiuri Torricelli.


Tag-uri:

>> Vezi problema originală <<