RSS Feed
Precedenta
Următoarea

Problema 137

12 Ianuarie 2007

Valori de aur ale șirului lui Fibonacci


Consideră șirul polinomial infinit AF(x) = xF1 + x2F2 + x3F3 + ..., unde Fk e al k-lea termen din șirul lui Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... ; adică Fk = Fk−1 + Fk−2, F1 = 1 și F2 = 1.

Pentru această problemă, o să luăm în considerare doar acele valori ale lui x pentru care AF(x) e un număr întreg pozitiv.

În mod surprinzător AF(1/2)  =  (1/2).1 + (1/2)2.1 + (1/2)3.2 + (1/2)4.3 + (1/2)5.5 + ...
   =  1/2 + 1/4 + 2/8 + 3/16 + 5/32 + ...
   =  2

Valorile corespunzătoare ale lui x pentru prime 5 numere naturale sunt afișate mai jos.

xAF(x)
√2−11
1/22
(√13−2)/33
(√89−5)/84
(√34−3)/55

O să zicem că AF(x) e o valoare de aur dacă x e un număr rațional, pentru că aceste valori devin tot mai rare; de exemplu, a 10-a valoare de aur e 74049690.

Găsește a 15-a valoare de aur.


Tag-uri:

>> Vezi problema originală <<